每週問題 January 20, 2014

這是關於一矩陣與其共軛轉置之和的特徵值問題。

Let A be an n\times n matrix and B=(A+A^{\ast})/2. Let \mu_{\max} and \mu_{\min} be the largest eigenvalue and the smallest eigenvalue of B, respectively. Show that every eigenvalue \lambda of A satisfies \mu_{\min}\le\text{Re}(\lambda)\le\mu_{\max}.

 
參考解答:

計算 Hermitian 矩陣 B 的二次型,如下:

\displaystyle  \begin{aligned} \mathbf{x}^\ast B\mathbf{x}&=\mathbf{x}^\ast\left(\frac{A+A^\ast}{2}\right)\mathbf{x}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}+\mathbf{x}^\ast A^\ast\mathbf{x}\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}+(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x})^\ast\right)=\frac{1}{2}\left(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}+\overline{\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}}\right)\\ &=\text{Re}(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}) .\end{aligned}

因為 Hermitian 矩陣 B 的 Rayleigh 商滿足

\displaystyle  \mu_{\min}\le\frac{\mathbf{x}^\ast B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x}}\le\mu_{\max}

可得

\displaystyle  \mu_{\min}\le\frac{\text{Re}(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x})}{\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x}}\le\mu_{\max}

\mathbf{x}A 的特徵向量,對應特徵值 \lambda,則 \text{Re}(\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x})=\text{Re}(\lambda\mathbf{x}^\ast\mathbf{x})=\text{Re}(\lambda)\mathbf{x}^\ast\mathbf{x},代入上式即證得所求。

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