值域對稱矩陣

本文的閱讀等級:中級

A 為一 n\times n 階實矩陣。若 A^T=A,則 A 可正交對角化為 A=Q\Lambda Q^T,其中 Q 是實正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 Q^TQ=I\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}A 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 r=\text{rank}AC(A) 表示 A 的行空間 (column space,即值域),N(A) 表示 A 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣,稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix),具有下列等價的界定性質:

  1. C(A)=C(A^T)
  2. N(A)=N(A^T)
  3. C(A)=N(A)^{\perp}
  4. A=Q\begin{bmatrix}  B&0\\  0&0  \end{bmatrix}Q^T,其中 B 是一 r\times r 階可逆分塊,Q 是一正交矩陣。

直白地說,值域對稱矩陣 A 的行空間等於列空間 (即 C(A^T)),零空間等於左零空間 (即 N(A^T)),行空間正交於零空間,且 A 正交相似於 \begin{bmatrix}  B&0\\  0&0  \end{bmatrix},其中 B 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 A 退化為一對稱矩陣時,B 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 r=n,則 A=QBQ^TC(A)=C(A^T)=\mathbb{R}^nN(A)=N(A^T)=\{\mathbf{0}\}。換句話說,每一可逆矩陣都是平凡的值域對稱矩陣,因為這個緣故,我們通常僅對不可逆的值域對稱矩陣感興趣。值域對稱矩陣可延伸至複矩陣,只要將轉置 (\cdot)^T 替換為共軛轉置 (\cdot)^\ast 即可,這時 Q 稱為么正矩陣 (unitary matrix)。

 
根據矩陣的四個基本子空間的正交補餘關係 (見“線性代數基本定理 (二)”):

\displaystyle  C(A)=N(A^T)^{\perp},~~C(A^T)=N(A)^{\perp}

立刻推得 (1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3),證明工作留給讀者自行完成。下面解說 (4) \Leftrightarrow (1) 的證明。假設 (4) 成立。令 Q=\begin{bmatrix}  Q_1&Q_2  \end{bmatrix},其中 Q_1n\times r 階分塊。將 Q 的表達式代入 A 的正交相似變換式,可得

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  Q_1&Q_2  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  B&0\\  0&0  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  Q_1^T\\  Q_2^T  \end{bmatrix}=Q_1BQ_1^T

取轉置即有 A^T=Q_1B^TQ_1^T。因為 \text{rank}A=\text{rank}B=\text{rank}Q_1=r,上面兩式表明 C(A)=C(Q_1)=C(A^T)。相反的,若 C(A)=C(A^T),則有 (2) N(A)=N(A^T) 和 (3) C(A)=N(A)^{\perp}。令 \{\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_r\}\{\mathbf{q}_{r+1},\ldots,\mathbf{q}_n\} 分別為 C(A)N(A) 的單範正交基底 (orthonormal basis), 即 \mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_j=1i=j\mathbf{q}_i^T\mathbf{q}_j=0i\neq j,並令 Q=\begin{bmatrix}  Q_1&Q_2  \end{bmatrix},其中 Q_1=\begin{bmatrix}  \mathbf{q}_1&\cdots&\mathbf{q}_r  \end{bmatrix}Q_2=\begin{bmatrix}  \mathbf{q}_{r+1}&\cdots&\mathbf{q}_{n}  \end{bmatrix}。因為 C(A)\perp N(A)

\displaystyle  Q^TQ=\begin{bmatrix}  Q_1^T\\  Q_2^T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  Q_1&Q_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  Q_1^TQ_1&Q_1^TQ_2\\  Q_2^TQ_1&Q_2^TQ_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&I_{n-r}  \end{bmatrix}=I

因為 AQ_2=\begin{bmatrix}  A\mathbf{q}_{r+1}&\cdots&A\mathbf{q}_n  \end{bmatrix}=0,由 (2) 可推得 A^TQ_2=0,故

\displaystyle\begin{aligned}  Q^TAQ&=\begin{bmatrix}  Q_1^T\\  Q_2^T  \end{bmatrix}A\begin{bmatrix}  Q_1&Q_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  Q_1^TAQ_1&Q_1^TAQ_2\\  Q_2^TAQ_1&Q_2^TAQ_2  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  Q_1^TAQ_1&Q_1^TAQ_2\\  (A^TQ_2)^TQ_1&Q_2^TAQ_2  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  Q_1^TAQ_1&0\\  0&0  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  B&0\\  0&0  \end{bmatrix},\end{aligned}

上面令 B=Q_1^TAQ_1。因此,

\displaystyle  \text{rank}B=\text{rank}\begin{bmatrix}  B&0\\  0&0  \end{bmatrix}=\text{rank}(Q^TAQ)=\text{rank}A=r

即證得所求。

 
最後補充說明值域對稱矩陣和正規矩陣 (normal matrix) 的關係 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”):若 A 是一正規矩陣,滿足 A^\ast A=AA^\ast,則 A 是值域對稱矩陣;但反向陳述並不成立。假設 A^\ast A=AA^\ast。因為 C(A)=C(AA^\ast)C(A^\ast)=C(A^\ast A) (證明見“利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩”),合併即得

\displaystyle  C(A)=C(AA^\ast)=C(A^\ast A)=C(A^\ast)

由 (1) 推知 A 是值域對稱矩陣。反過來說,假設 A=Q\begin{bmatrix}  B&0\\  0&0  \end{bmatrix}Q^T 是值域對稱矩陣。選擇 B 使得 B^\ast B\neq BB^{\ast},則 A 不為正規矩陣,譬如,B=\begin{bmatrix}  1&1\\  2&3  \end{bmatrix}

相關閱讀:
廣告
本篇發表於 線性代數專欄, 內積空間 並標籤為 , , , , , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s