值域對稱矩陣

本文的閱讀等級：中級

令 為一 階實矩陣。若 ，則 可正交對角化為 ，其中 是實正交矩陣 (orthogonal matrix)，滿足 ，， 是 的特徵值 (見“實對稱矩陣可正交對角化的證明”)。以下令 ， 表示 的行空間 (column space，即值域)， 表示 的零空間 (nullspace)。本文介紹一種涵蓋對稱矩陣的特殊矩陣，稱為值域對稱矩陣 (range symmetric matrix)，具有下列等價的界定性質：

1. 
2. 
3. 
4. ，其中 是一 階可逆分塊， 是一正交矩陣。

直白地說，值域對稱矩陣 的行空間等於列空間 (即 )，零空間等於左零空間 (即 )，行空間正交於零空間，且 正交相似於 ，其中 是可逆分塊。當值域對稱矩陣 退化為一對稱矩陣時， 即為非零特徵值所組成的對角矩陣。若 ，則 ， 且 。換句話說，每一可逆矩陣都是平凡的值域對稱矩陣，因為這個緣故，我們通常僅對不可逆的值域對稱矩陣感興趣。值域對稱矩陣可延伸至複矩陣，只要將轉置 替換為共軛轉置 即可，這時 稱為么正矩陣 (unitary matrix)。

 
根據矩陣的四個基本子空間的正交補餘關係 (見“線性代數基本定理 (二)”)：

，

立刻推得 (1) (2) (3)，證明工作留給讀者自行完成。下面解說 (4) (1) 的證明。假設 (4) 成立。令 ，其中 是 階分塊。將 的表達式代入 的正交相似變換式，可得

，

取轉置即有 。因為 ，上面兩式表明 。相反的，若 ，則有 (2) 和 (3) 。令 和 分別為 和 的單範正交基底 (orthonormal basis)， 即 若 ， 若 ，並令 ，其中 且 。因為 ，

。

因為 ，由 (2) 可推得 ，故

上面令 。因此，

，

即證得所求。

 
最後補充說明值域對稱矩陣和正規矩陣 (normal matrix) 的關係 (見“特殊矩陣 (2)：正規矩陣”)：若 是一正規矩陣，滿足 ，則 是值域對稱矩陣；但反向陳述並不成立。假設 。因為 且 (證明見“利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩”)，合併即得

，

由 (1) 推知 是值域對稱矩陣。反過來說，假設 是值域對稱矩陣。選擇 使得 ，則 不為正規矩陣，譬如，。

相關閱讀：

• 等距同構與么正矩陣
• 核心─冪零分解

Advertisement