每週問題 February 3, 2014

這是利用 Rayleigh 商判斷特徵值分布的問題。

Without computing the eigenvalues, decide how many are positive, negative, and zero for

\displaystyle A=\begin{bmatrix} 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&0&2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&n-1\\ 1&2&\cdots&n-1&n \end{bmatrix},~~n\ge 2.

 
參考解答:

考慮實對稱矩陣 A 的 Rayleigh 商

\displaystyle \lambda_{\min}\le\frac{\mathbf{x}^TA\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}\le\lambda_{\max}

其中 \lambda_{\min}A 的最小特徵值,\lambda_{\max}A 的最大特徵值。觀察發現 A 的行空間基底向量為 (0,\ldots,0,1)^T(1,2,\ldots,n)^T,即知 \hbox{rank}A=2。根據秩─零度定理,\dim N(A)=n-2,也就是說,A 的零特徵值的代數重數等於 n-2 (實對稱矩陣可正交對角化,每一特徵值的幾何重數等於代數重數),故可推論 A 有兩個非零特徵值 (包含相重特徵值)。設 \mathbf{x}=(0,\ldots,0,1)^T,則 \mathbf{x}^TA\mathbf{x}/\mathbf{x}^T\mathbf{x}=n,故 \lambda_{\max}\ge n>0,表明 A 有一個不小於 n 的特徵值。另一方面,\hbox{trace}A=n,所有特徵值之和等於 n,即知 A 有一負特徵值,否則 A 僅有唯一一個非零特徵值 n,這與前述推論相矛論。綜合以上結果,A 有一個正特徵值,一個負特徵值,以及 (n-2) 個零特徵值。

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