矩陣與特徵值的指標

Posted on 02/06/2014 by ccjou

本文的閱讀等級：中級

在線性代數中，一 $n\times n$ 階複矩陣 $A$ 可以視為線性算子 (linear operator)， $A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ 。線性算子 $A$ 的值域是矩陣 $A$ 的行空間，記作 $C(A)=\{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}$ ；線性算子 $A$ 的核是矩陣 $A$ 的零空間，記作 $N(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\vert A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}$ (見“線性變換與矩陣的用語比較”)。若 $A$ 是一可逆矩陣，則 $C(A)=\mathbb{C}^n$ 且 $N(A)=\mathcal{O}$ ，其中 $\mathcal{O}=\{\mathbf{0}\}$ 。若 $A$ 是不可逆矩陣，則 $C(A)$ 未能充滿整個 $\mathbb{C}^n$ 而且 $N(A)$ 包含非零向量， $C(A)\subset\mathbb{C}^n$ ^[1] 且 $N(A)\neq\mathcal{O}$ 。秩─零度定理聲明矩陣的秩 (rank) 與零度 (nullity) 之和等於線性算子的定義域的維數 (見“運用輸入輸出模型活化秩─零度定理”)：

$\hbox{rank}A+\hbox{nullity}A=n$ ，

其中 $\text{rank}A=\dim C(A)$ ， $\hbox{nullity}A=\dim N(A)$ 。另一方面，容斥定理闡明兩個子空間與子空間和以及子空間交集的維數關係 (見“補子空間與直和”)。容斥定理套用至行空間 $C(A)$ 與零空間 $N(A)$ ，如下：

$\displaystyle \dim C(A)+\dim N(A)=\dim \left(C(A)+N(A)\right)+\dim \left(C(A)\cap N(A)\right)$ 。

因此， $\dim \left(C(A)+N(A)\right)+\dim \left(C(A)\cap N(A)\right)=n$ ，可以推論 $C(A)+N(A)=\mathbb{C}^n$ 同義於 $C(A)\cap N(A)=\mathcal{O}$ 。這個時候，在向量空間 $\mathbb{C}^n$ ， $C(A)$ 是 $N(A)$ 的一個補子空間，反之亦然，記作 $C(A)\oplus N(A)=\mathbb{C}^n$ ，我們稱之為直和 (direct sum) 分解，意思說是任何一個 $\mathbf{z}\in\mathbb{C}^n$ 可唯一分解為 $\mathbf{z}=\mathbf{x}+\mathbf{y}$ ，其中 $\mathbf{x}\in C(A)$ ， $\mathbf{y}\in N(A)$ 。不過當 $A$ 為不可逆矩陣時，行空間和零空間未必不交集。例如， $A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$ ，不難確認 $C(A)=N(A)=\mathrm{span}\left\{\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}\right\}$ 。雖然如此，直和分解總是可以通過冪矩陣 $A^k$ 實現，意即存在一正整數 $k$ ， $1\le k\le n$ ，使得

$C(A^k)\oplus N(A^k)=\mathbb{C}^n$ ，

稱為值域─零空間分解 (見“值域─零空間分解”)。值域─零空間分解衍生出兩個概念：矩陣的指標 (index) 與特徵值的指標，後者是一個相當有用的特徵分析概念。

冪矩陣 $A^j$ 的行空間 $C(A^j)$ 與零空間 $N(A^j)$ 具有底下的包容關係 (證明見^[2])：

$\displaystyle\begin{aligned} &\mathbb{C}^n\supseteq C(A^0)\supseteq C(A)\supseteq C(A^2)\supseteq\cdots\supseteq C(A^k)\supseteq C(A^{k+1})\supseteq\cdots\supseteq\mathcal{O}\\ &\mathcal{O}\subseteq N(A^0)\subseteq N(A)\subseteq N(A^2)\subseteq\cdots\subseteq N(A^k)\subseteq N(A^{k+1})\subseteq\cdots\subseteq\mathbb{C}^n \end{aligned}$

直白地說，隨著次冪 $j=0,1,2,\ldots$ 遞增，行空間 $C(A^j)$ 從 $\mathbb{C}^n$ 逐漸縮小，而零空間 $N(A^j)$ 從 $\mathcal{O}$ 開始增大。對於每一個冪矩陣 $A^j$ ， $j\ge 0$ ，秩─零度定理 $\dim C(A^j)+\dim N(A^j)=n$ 說明 $\dim C(A^j)$ 和 $\dim N(A^j)$ 跟著 $j$ 變動而等量改變。對於不可逆矩陣 $A$ ，行空間 $C(A^j)$ 和零空間 $N(A^j)$ 的包容關係可以衍生出下列性質 (證明見“值域─零空間分解”)：存在一最小正整數 $k$ 使得

$C(A^{k+1})=C(A^k)$ ，
$N(A^{k+1})=N(A^k)$ ，
$C(A^k)\cap N(A^k)=\mathcal{O}$ ，
$C(A^k)+N(A^k)=\mathbb{C}^n$ 。

合併等式3和4即為值域─零空間分解 $C(A^k)\oplus N(A^k)=\mathbb{C}^n$ 。滿足這四個等式的最大可能 $k$ 值是多少？答案是 $n$ 。使用反證法。假設 $0<\dim N(A)<\mathrm{dim}N(A^2)<\cdots$ ，則 $n<\dim N(A^{n+1})$ ，但 $\mathbb{C}^n$ 不可能包含維數大於 $n$ 的子空間，證明存在 $k\le n$ 使得 $N(A^k)=N(A^{k+1})$ 。同樣的推論方式可證得存在 $k\le n$ 使得 $C(A^k)=C(A^{k+1})$ 。

綜合以上討論，我們定義一 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 的指標 $k=\text{index}(A)$ 為滿足下列任一條件的最小非負整數：

$\text{rank}(A^{k+1})=\text{rank}(A^{k})$ ，
$C(A^{k+1})=C(A^{k})$ ，
$N(A^{k+1})=N(A^{k})$ 。

若 $A$ 是可逆矩陣， $\text{index}(A)=0$ 。若 $A$ 是不可逆矩陣，則 $k=\text{index}(A)$ 為滿足 $C(A^k)\oplus N(A^k)=\mathbb{C}^n$ 的最小正整數， $1\le k\le n$ 。舉一個例子說明：

$\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{ccr} 2&0&0\\ 0&1&-1\\ 0&1&-1 \end{array}\!\!\right]$ 。

觀察得知 $A$ 僅有兩個線性獨立的行，即 $\text{rank}A=2$ 。因為 $A$ 不可逆，可知 $\text{index}(A)>0$ 。計算冪矩陣

$\displaystyle A^2=\begin{bmatrix} 4&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix},~A^3=\begin{bmatrix} 8&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}$ ，

得到 $\text{rank}A>\text{rank}(A^2)=\text{rank}(A^3)$ ，故 $\text{index}(A)=2$ 。另外，我們還可以從冪矩陣的行空間和零空間推論同樣結果：

$\displaystyle C(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\right\},~C(A^2)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\right\},~C(A^3)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\right\}$ 。

因此， $C(A)\supset C(A^2)=C(A^3)$ ，推知 $\text{index}(A)=2$ 。再有，

$\displaystyle N(A)=\text{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\right\},~N(A^2)= \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\},~ N(A^3)= \text{span}\left\{\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}\right\}$ 。

因此， $N(A)\subset N(A^2)=N(A^3)$ ，同樣可得 $\text{index}(A)=2$ 。

我們討論幾個關於矩陣的指標性質：相似變換不改變矩陣的指標，正規矩陣、冪等矩陣和冪零矩陣的指標，以及附著於指標的一個分解式。

若 $A$ 相似於 $B$ ，則 $\text{index}(A)=\text{index}(B)$ 。

假設 $A$ 相似於 $B$ ，即存在一可逆矩陣 $M$ 使得 $A=MBM^{-1}$ ，也就有 $A^j=MB^jM^{-1}$ ，推得 $\text{rank}(A^j)=\text{rank}(B^j)$ ， $j\ge 0$ (相似變換不改變矩陣秩，證明見“相似變換下的不變性質”，性質四)。根據定義， $\text{index}(A)=\text{index}(B)$ 。
若 $A$ 為一正規矩陣 (normal matrix)，則 $\text{index}(A)\le 1$ 。

我們稱一矩陣 $A$ 是正規矩陣，若 $AA^\ast=A^\ast A$ (見“特殊矩陣 (2)：正規矩陣”)。如果 $A$ 可逆， $\text{index}(A)=0$ 。若 $A$ 不可逆，我們要證明 $C(A)\cap N(A)=\mathcal{O}$ ，意味 $C(A)\oplus N(A)=\mathbb{C}^n$ ，故可推得 $\text{index}(A)=1$ 。利用性質 $N(A)=N(A^\ast A)$ 和 $N(A^\ast)=N(AA^\ast)$ (見“利用 Gramian 矩陣證明行秩等於列秩”)，則有 $N(A)=N(A^\ast)$ 。假設 $\mathbf{x}\in C(A)\cap N(A)$ ，即存在 $\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n$ 使得 $\mathbf{x}=A\mathbf{y}$ 且 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 。以上結果表明 $A^\ast\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，故

$\displaystyle \Vert\mathbf{x}\Vert^2=\mathbf{x}^\ast\mathbf{x}=(A\mathbf{y})^\ast\mathbf{x}=\mathbf{y}^\ast A^\ast\mathbf{x}=\mathbf{y}^\ast\mathbf{0}=0$ ，

證得 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 。
若 $P$ 為一冪等矩陣 (idempotent matrix)，則 $\text{index}(P)\le 1$ 。

冪等矩陣 $P$ 滿足 $P^2=P$ 且 $C(P)\cap N(P)=\mathcal{O}$ (見“特殊矩陣 (5)：冪等矩陣”)。若 $P$ 可逆，則 $P=I$ 且 $\text{index}(P)=0$ 。若 $P$ 不可逆，由 $C(P)\cap N(P)=\mathcal{O}$ 推知 $\text{index}(P)=1$ 。
若 $N$ 為一冪零矩陣 (nilpotent matrix)，則 $k=\text{index}(N)$ 為最小正整數使得 $N^k=0$ 。

我們稱一矩陣 $N$ 是冪零矩陣，若存在一正整數 $k$ 使得 $N^k=0$ (見“特殊矩陣 (1)：冪零矩陣”)。欲證明 $k=\text{index}(N)$ 是最小正整數使得 $N^k=0$ ，假設 $m$ 是一正整數使得 $N^m=0$ ，但 $N^{m-1}\neq 0$ 。根據指標的定義，下列行空間包容關係成立：

$\displaystyle C(N^0)\supset C(N)\supset\cdots\supset C(N^{k-1})\supset C(N^k)=C(N^{k+1})=C(N^{k+2})=\cdots$

明顯地，不可能發生 $m<k$ 或 $m>k$ 的情況，因此證明 $m=k$ 。下面是一個出現於 Jordan 典型形式的冪零矩陣例子 (見“Jordan 分塊”)：

$\displaystyle N=\begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$ 。

直接計算可驗證 $\text{index}(N)=4$ ，如下：

$\displaystyle N^2=\begin{bmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix},~N^3=\begin{bmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix},~N^4=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$ 。
若 $A$ 為一 $n\times n$ 階不可逆矩陣， $k=\text{index}(A)$ ，且 $r=\text{rank}A^k$ ，則必存在一可逆矩陣 $Q$ 使得
$\displaystyle Q^{-1}AQ=\begin{bmatrix} F&0\\ 0&N \end{bmatrix}$ ，

其中 $F$ 為 $r\times r$ 階可逆分塊， $N$ 為 $(n-r)\times(n-r)$ 階冪零分塊，且 $\text{index}(N)=k$ 。上式為核心—冪零分解 (core-nilpotent decomposition)， $F$ 是核心， $G$ 是冪零 (詳見“核心─冪零分解”)。

下面說明矩陣的指標如何衍生特徵值的指標。令 $\sigma(A)$ 為 $n\times n$ 階矩陣 $A$ 的矩陣譜 (spectrum)，即 $A$ 的所有相異特徵值形成的集合。我們定義特徵值 $\lambda\in\sigma(A)$ 的指標為對應矩陣 $A-\lambda I$ 的指標，並記為 $\text{index}(\lambda)=\text{index}(A-\lambda I)$ 。因為 $A-\lambda I$ 不可逆， $1\le\text{index}(\lambda)\le n$ 。特徵值的指標在進階特徵分析具有重要的意義，在此我們僅列舉出一些事實，請讀者自行查閱相關文章 (見“最小多項式 (下)”，“拒絕行列式的特徵分析”)。設 $\lambda\in\sigma(A)$ 且 $k=\text{index}(\lambda)$ 。

矩陣 $A$ 的最小多項式包含因式 $(t-\lambda)^k$ 。因為最小多項式整除特徵多項式， $k$ 必不大於 $\lambda$ 的代數重數。

若非零向量 $\mathbf{x}$ 滿足 $(A-\lambda I)^k\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，則 $\mathbf{x}$ 稱為廣義特徵向量 (generalized eigenvector)。若 $k=1$ ，則廣義特徵向量退化為一般特徵向量。

特徵值為 $\lambda$ 的最大 Jordan 分塊階數等於 $k$ 。例如，

$\displaystyle J=\begin{bmatrix} \lambda&1&0&0\\ 0&\lambda&1&0\\ 0&0&\lambda&0\\ 0&0&0&\lambda \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda&1&0\\ 0&\lambda&1\\ 0&0&\lambda \end{bmatrix}\oplus\begin{bmatrix} \lambda \end{bmatrix}$

的最大 Jordan 分塊階數為 $\text{index}(\lambda)=3$ 。

若每一 $\lambda\in\sigma(A)$ 都有 $\text{index}(\lambda)=1$ ，則 $A$ 是可對角化矩陣；若存在一 $\lambda\in\sigma(A)$ 使得 $\text{index}(\lambda)>1$ ，則 $A$ 是不可對角化矩陣。

最後舉一個矩陣與特徵值指標的應用：若 $A$ 為一正規矩陣， $AA^\ast=A^\ast A$ ，則 $(A-\lambda I)^\ast(A-\lambda I)=(A-\lambda I)(A-\lambda I)^\ast$ ，故知 $A-\lambda I$ 亦為正規矩陣，因此每一特徵值 $\lambda$ 皆有 $\text{index}(\lambda)=\text{index}(A-\lambda I)=1$ ，上述性質推論正規矩陣 $A$ 可對角化。實對稱矩陣歸屬於正規矩陣家族，所以實對稱矩陣必可對角化。

註解：
[1] 我們以 $S\subset T$ 表示 $S$ 是 $T$ 的一個真子集 (proper subset)，即 $S\subseteq T$ 且 $S\neq T$ ，並以 $S\supset T$ 表示 $S$ 是 $T$ 的一個真父集 (proper supset)，即 $S\supseteq T$ 且 $S\neq T$ 。
[2] 行空間包容關係 $C(A^{j+1})\subseteq C(A^j)$ 的證明：

$\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{x}\in{C}(A^{j+1})&\Rightarrow \mathbf{x}=A^{j+1}\mathbf{y}=A^j(A\mathbf{y}), \exists \mathbf{y}\in \mathbb{C}^n\\ &\Rightarrow \mathbf{x}=A^j\mathbf{z}, \mathbf{z}=A\mathbf{y}\\ &\Rightarrow \mathbf{x}\in C(A^j) \end{aligned}$

零空間包容關係 $N(A^{j})\subseteq N(A^{j+1})$ 的證明：

$\displaystyle\begin{aligned} \mathbf{x}\in{N}(A^j)&\Rightarrow A^j\mathbf{x}=\mathbf{0}\\ &\Rightarrow A^{j+1}\mathbf{x}=A(A^j\mathbf{x})=A\mathbf{0}=\mathbf{0}\\ &\Rightarrow \mathbf{x}\in N(A^{j+1}) \end{aligned}$

This entry was posted in 線性代數專欄, 向量空間 and tagged 特徵值指標, 矩陣指標, 秩─零度定理, 值域─零空間分解, 冪等矩陣, 冪零矩陣, 容斥定理, 核心—冪零分解, 正規矩陣. Bookmark the permalink.

9 Responses to 矩陣與特徵值的指標

David says:

02/10/2014 at 2:02 am

Teacher Zhou,

学习中,发现一个问题:
如何对下面的幂和求余:
a4=1^4+2^4+3^4+4^4+….+n^4
a3=1^3+2^3+3^3+4^3+….+n^3
a2=1^2+2^2+3^2+4^2+….+n^2
a1=1+2+3+4+….+n
a0=n (n 个1相加)

问题:
( ( (a4 mod a3) mod a2 ) mod a1 ) a0

How to solve a4 = x1*a3+x2*a2+x3*a1+x4*a0 + x5?
x1,x2,x3, and x4, x5 are integers(x5<=n).

Thank you!

Reply
- David says:
  
  02/10/2014 at 2:22 am
  
  周老师,
  用Bernoulli幂和多项式和多项式相除, 过程中会引入分数.
  另外, 在高次幂和下, Bernoulli幂和多项式的系数可以
  递归得到,但也是很大数.
  
  有没有快办法: (((a4 mod a3) mod a2) mod a1) mod a0
  
  Reply
- ccjou says:
  
  02/10/2014 at 1:04 pm
  
  你的問題是要求出滿足a4 = x1*a3+x2*a2+x3*a1+x4*a0+x5 的
  x1, x2, x3, x4, x5, 是吧？
  
  如果是這個問題，目前我的想法是解線性方程。等問題確定了，我再詳細回覆。
  
  問題要求xi是整數，這有點麻煩。
  
  Reply
  - David says:
    
    02/11/2014 at 1:09 am
    
    谢谢您.
    要求xi是整數, 最关键的是如何快速得到X5, 即可.
    这是不定方程式的一类. 不知道線性方程的知识
    能否给个启示.
    
    问题也可一般化,对高次幂和,情况会如何?
    
    Reply
    - ccjou says:
      
      02/11/2014 at 3:32 pm
      
      原先我的想法是使用牛頓恆等式(https://ccjou.wordpress.com/2012/11/07/%E5%88%A9%E7%94%A8%E7%89%9B%E9%A0%93%E6%81%86%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%81%AF%E7%B9%AB%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E4%BF%82%E6%95%B8%E8%88%87%E5%86%AA%E7%9F%A9%E9%99%A3%E8%B7%A1%E6%95%B8/)
      或以Smith normal form解出linear Diophantine equation a4=x1*a3+x2*a2+x3*a1+x4*a0+x5，但這還是必須先算出冪和ak，如你所說，當次冪增大時，ak的數值過大。縱使解出一般式，仍未解決原本的問題：求出(((a4 mod a3) mod a2) mod a1) mod a0的快算法。
      
      如果不實際算出ak，我們就必須有a_{k+1} mod ak (以及任何數 z mod ak) 的特殊算法，譬如，以連續減法取代除法。考慮a_{k+1}-ak=(1*1^k+2*2^k+3*3^k+…+n*n^k)-(1^k+2^k+3^k+4^k+….+n^k)=0*1^k+1*2^k+2*3^k+…+(n-1)*n^k，這個結果可記為序列 (0,1,2,…,n-1)_k，再將之轉換為新序列 (b1,b2,b3,…,bn)_k 使得兩序列表示同一數且 b1,b2,…,bn >=1，再減ak可得(b1-1,b2-1,b3-1,…,bn-1)_k，重複此步驟直到無法繼續為止，最後結果即為餘數。接下來的問題是：提出一個快捷的轉換算法(除了硬算，目前我沒想出其他辦法)。
      
      Reply
      - David says:
        
        02/16/2014 at 3:39 am
        
        谢谢您!
        
        利用Bernoulli幂和多项式, 采用一种特定的多项式消除法,最后的余项是:
        B_{2m} * n. B_{2m} 是Bernoulli数.
        
        =================================================
        如用余项做素数判定. 有:
        一个奇数a是素数, 则有 (((Bernoulli_{a-1}) * a) + 1) mod a = 0
        =================================================
        您有做数论的同事, 这结论是新的吗?
        
        如 B4= -1/30, (B4*5+1) = 5/6, (B4*5+1) mod 5 = 0.
        如 B8= -/30, (B8*9+1) = 7/10, (B8*9+1) mod 9 = 7.
        对于: 341, 561
        (bernoulli(340)*341+1) mod 341 =311
        (bernoulli(560)*561+1) mod 561 =291
        
        在MuPad 下, 做验证:
        对应于第二项为0, 第一项是素数.
        二项式系数能递归得到,也可以直接用函数得到C_{n}^{k}.
        Bernoulli数能递归得到, 有函数直接得到吗??
        如有, 对Bernoulli数作某种变换,就能得到自然数中素数列,
        下一个素数的是?
        
        >for i from 2 to 100 step 2 do print((i+1), (bernoulli(i)*(i+1)+1) mod (i+1)); end_for
        3, 0
        5, 0
        7, 0
        9, 7
        11, 0
        13, 0
        15, 11
        17, 0
        19, 0
        21, 15
        23, 0
        25, 21
        27, 19
        29, 0
        31, 0
        33, 23
        35, 1
        37, 0
        39, 27
        41, 0
        43, 0
        45, 22
        47, 0
        49, 43
        51, 35
        53, 0
        55, 1
        57, 39
        59, 0
        61, 0
        63, 43
        65, 53
        67, 0
        69, 47
        71, 0
        73, 0
        75, 51
        77, 1
        79, 0
        81, 55
        83, 0
        85, 69
        87, 59
        89, 0
        91, 79
        93, 63
        95, 1
        97, 0
        99, 67
        101, 0
        
        Reply
        
        ccjou says:
        
        02/16/2014 at 5:00 pm
        
        在此先謝謝你。因為你的提問，我花了一二天重溫數論知識，不過仍僅及皮毛。
        
        一時間我也想不起哪位同事(都是電機系老師)從事數論研究，你最好還是請教數學系老師確認這個發現。
        
        Bernoulli數存在代數式，見下文(式33)
        http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html
        
        PS 可能是你的迴響包含過多的標點符號，故被系統誤判為垃圾。倘若下回再有這種情事，請另外張貼一句短語提醒我去垃圾中找回。
David says:

02/16/2014 at 8:33 pm

再次谢谢!

我原来的打算不是数论, 而是如何快速的提取信号中的目标.
变化后的目标(定义为一种变换), 与目标配适, 理论上,可以
对变换中的每组参数, 进行检验. 这跟找素数很像!

我想将变换空间投到目标所定义的一种本性空间中.
如知道孩子们在教室里即可,不需要知道哪个孩子
在哪个位置.

回头有些问题再请教!

Reply
- ccjou says:
  
  02/16/2014 at 8:55 pm
  
  好的，我也會將你提出的一連串問題放在心上慢慢琢磨。
  
  Reply

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨