每週問題 February 10, 2014

這是有關么正等價 (unitarily equivalent) 的問題。

Let A and B be m\times n matrices. We say that A and B are unitarily equivalent if there exist unitary matrices U and V such that A=UBV^\ast. Recall that a square matrix U is called unitary if U^\ast U=I. Prove the following statements.
(a) A and B are unitarily equivalent if and only if A and B have the same singular values.
(b) A and B are unitarily equivalent if and only if A^\ast A and B^\ast B are similar.


參考解答:

(a) 假設 AB 有相同的奇異值,寫出奇異值分解 A=U_1\Sigma V_1^\astB=U_2\Sigma V_2^\ast,其中 U_1, U_2, V_1, V_2 是么正 (unitary) 矩陣,\Sigma=\begin{bmatrix}  D&0\\  0&0  \end{bmatrix}D=\text{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_p)p=\min\{m,n\},是奇異值構成的對角矩陣 (\Sigma 的零列和零行必須隨 mn 的大小調整)。將 \Sigma=U_2^\ast BV_2 代入 A 的奇異值分解式,可得 A=U_1U_2^\ast BV_2V_1^\ast,其中 U_1U_2^\astV_2V_1^\ast 都是么正矩陣,驗證於下:

\displaystyle\begin{aligned}  (U_1U_2^\ast)^\ast(U_1U_2^\ast)&=U_2U_1^\ast U_1U_2^\ast=U_2U_2^\ast=I_m\\  (V_2V_1^\ast)^\ast(V_2V_1^\ast)&=V_1V_2^\ast V_2V_1^\ast=V_1V_1^\ast=I_n.  \end{aligned}

因此,A 么正等價於 B。相反的,假設 A 么正等價於 B。設 AB 的奇異值分解分別為 A=U_1\Sigma_1V_1^\astB=U_2\Sigma_2V_2^\ast。在不失一般性的原則下,假定奇異值按遞減方式排序。因為 A=UBV^\ast,可得 U_1\Sigma_1V_1^\ast=UU_2\Sigma_2V_2^\ast V^\ast,或表示為 \Sigma_1=(U_1^\ast UU_2)\Sigma_2(V_1^\ast VV_2)^\ast,也就是說,\Sigma_1 么正等價於 \Sigma_2。上式可以看成 \Sigma_1 的奇異值分解,故證明 \Sigma_1=\Sigma_2

(b) 若 A=UBV^\ast,則

\displaystyle  A^\ast A=VB^\ast U^\ast UBV^\ast=VB^\ast BV^\ast=VB^\ast BV^{-1}

A^\ast A 相似於 B^\ast B。相反的,若 A^\ast A 相似於 B^\ast B,則兩者有相同的特徵值。因為 A^\ast AB^\ast B 的特徵值平方根分別等於 AB 的奇異值,由 (a) 可推論 A 么正等價於 B

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