## 每週問題 February 10, 2014

Let $A$ and $B$ be $m\times n$ matrices. We say that $A$ and $B$ are unitarily equivalent if there exist unitary matrices $U$ and $V$ such that $A=UBV^\ast$. Recall that a square matrix $U$ is called unitary if $U^\ast U=I$. Prove the following statements.
(a) $A$ and $B$ are unitarily equivalent if and only if $A$ and $B$ have the same singular values.
(b) $A$ and $B$ are unitarily equivalent if and only if $A^\ast A$ and $B^\ast B$ are similar.

(a) 假設 $A$$B$ 有相同的奇異值，寫出奇異值分解 $A=U_1\Sigma V_1^\ast$$B=U_2\Sigma V_2^\ast$，其中 $U_1, U_2, V_1, V_2$ 是么正 (unitary) 矩陣，$\Sigma=\begin{bmatrix} D&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$$D=\text{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_p)$$p=\min\{m,n\}$，是奇異值構成的對角矩陣 ($\Sigma$ 的零列和零行必須隨 $m$$n$ 的大小調整)。將 $\Sigma=U_2^\ast BV_2$ 代入 $A$ 的奇異值分解式，可得 $A=U_1U_2^\ast BV_2V_1^\ast$，其中 $U_1U_2^\ast$$V_2V_1^\ast$ 都是么正矩陣，驗證於下：

\displaystyle\begin{aligned} (U_1U_2^\ast)^\ast(U_1U_2^\ast)&=U_2U_1^\ast U_1U_2^\ast=U_2U_2^\ast=I_m\\ (V_2V_1^\ast)^\ast(V_2V_1^\ast)&=V_1V_2^\ast V_2V_1^\ast=V_1V_1^\ast=I_n. \end{aligned}

(b) 若 $A=UBV^\ast$，則

$\displaystyle A^\ast A=VB^\ast U^\ast UBV^\ast=VB^\ast BV^\ast=VB^\ast BV^{-1}$

$A^\ast A$ 相似於 $B^\ast B$。相反的，若 $A^\ast A$ 相似於 $B^\ast B$，則兩者有相同的特徵值。因為 $A^\ast A$$B^\ast B$ 的特徵值平方根分別等於 $A$$B$ 的奇異值，由 (a) 可推論 $A$ 么正等價於 $B$