每週問題 February 17, 2014

這是關於具有矩陣乘法型態的線性變換的特徵值和對角化問題，取自2012年台聯大碩士班入學試題(工程數學B)。

Let $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ be the vector space consisting of all $2\times 2$ matrices with real-valued entries and let $T$ be a linear operator on $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ such that

$\displaystyle T\left(\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} c&d\\ a&b \end{bmatrix}.$

(a) Determine the eigenvalues of $T$ .
(b) Find an ordered basis $\boldsymbol{\beta}$ for $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ such that $[T]_{\boldsymbol{\beta}}$ is a diagonal matrix.

參考解答：

(a) 設 $X$ 為一 $2\times 2$ 階矩陣，則有 $T(X)=AX$ ，其中 $A=[a_{ij}]=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}$ 。考慮 $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ 的標準基底 $\boldsymbol{\gamma}=\{E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22}\}$ ，其中 $E_{ij}$ 是一 $2\times 2$ 階矩陣且 $(i,j)$ 元為 $1$ ，其餘元為 $0$ 。不難確認

$T(E_{ij})=AE_{ij}=a_{1i}E_{1j}+a_{2i}E_{2j},~~ 1\le i,j\le 2$ 。

根據線性變換表示矩陣的定義，

$\displaystyle [T]_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix} [T(E_{11})]_{\boldsymbol{\gamma}}&[T(E_{21})]_{\boldsymbol{\gamma}}&[T(E_{12})]_{\boldsymbol{\gamma}}&[T(E_{22})]_{\boldsymbol{\gamma}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A&0\\ 0&A \end{bmatrix}$ 。

線性算子 $T$ (即 $[T]_{\boldsymbol{\gamma}})$ 的特徵多項式為 $p_T(t)=(p_A(t))^2=(t^2-1)^2$ 。因為 $A$ 的特徵值是 $1$ 和 $-1$ ，分別對應特徵向量 $\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ ，可知 $T$ 有特徵值 $1$ ，相重數為 $2$ ，對應特徵向量 $\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&-1 \end{bmatrix}$ ，並有特徵值 $-1$ ，相重數為 $2$ ，對應特徵向量 $\left[\!\!\begin{array}{rr} 1&1\\ -1&-1 \end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{rr} 1&-1\\ -1&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

(b) 考慮線性算子 $T$ 的特徵向量所構成的 $\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ 的一組有序基底 $\displaystyle \boldsymbol{\beta}=\left\{X_1,X_2,X_3,X_4\right\}$ ，其中

$\displaystyle X_1=\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix},~X_2=\begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&-1 \end{bmatrix},~X_3=\left[\!\!\begin{array}{rr} 1&1\\ -1&-1 \end{array}\!\!\right],~X_4=\left[\!\!\begin{array}{rr} 1&-1\\ -1&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

因為 $T(X_1)=X_1$ ， $T(X_2)=X_2$ ， $T(X_3)=-X_3$ 且 $T(X_4)=-X_4$ ，可得

$\displaystyle [T]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} [T(X_1)]_{\boldsymbol{\beta}}&[T(X_2)]_{\boldsymbol{\beta}}&[T(X_3)]_{\boldsymbol{\beta}}&[T(X_4)]_{\boldsymbol{\beta}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&&&\\ &1&&\\ &&-1&\\ &&&-1 \end{bmatrix}$ 。

3 Responses to 每週問題 February 17, 2014

David says:

10/30/2015 at 9:41 pm

請問老師此題特徵向量是否可寫成
[ 1 0] [0 1] [1 0] [0 1]
1 0 0 1 -1 0 0 -1
還請老師指導

- ccjou says:
  
  10/30/2015 at 10:54 pm
  
  $\begin{bmatrix} 1&0\\ 1&0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&1 \end{bmatrix}$ 擴張的子空間(對應特徵值1的特徵空間)等於 $\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&-1 \end{bmatrix}$ 所擴張的子空間。因此，你選擇的特徵向量是正確的。
  
  - David says:
    
    10/30/2015 at 11:28 pm
    
    感謝老師解惑
    讓我觀念更為清楚感恩

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