每週問題 February 17, 2014

這是關於具有矩陣乘法型態的線性變換的特徵值和對角化問題,取自2012年台聯大碩士班入學試題(工程數學B)

Let \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) be the vector space consisting of all 2\times 2 matrices with real-valued entries and let T be a linear operator on \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) such that

\displaystyle  T\left(\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}  c&d\\  a&b  \end{bmatrix}.

(a) Determine the eigenvalues of T.
(b) Find an ordered basis \boldsymbol{\beta} for \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) such that [T]_{\boldsymbol{\beta}} is a diagonal matrix.

 
參考解答:

(a) 設 X 為一 2\times 2 階矩陣,則有 T(X)=AX,其中 A=[a_{ij}]=\begin{bmatrix}  0&1\\  1&0  \end{bmatrix}。考慮 \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) 的標準基底 \boldsymbol{\gamma}=\{E_{11}, E_{21}, E_{12}, E_{22}\},其中 E_{ij} 是一 2\times 2 階矩陣且 (i,j) 元為 1,其餘元為 0。不難確認

T(E_{ij})=AE_{ij}=a_{1i}E_{1j}+a_{2i}E_{2j},~~ 1\le i,j\le 2

根據線性變換表示矩陣的定義,

\displaystyle  [T]_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  [T(E_{11})]_{\boldsymbol{\gamma}}&[T(E_{21})]_{\boldsymbol{\gamma}}&[T(E_{12})]_{\boldsymbol{\gamma}}&[T(E_{22})]_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A&0\\  0&A  \end{bmatrix}

線性算子 T (即 [T]_{\boldsymbol{\gamma}}) 的特徵多項式為 p_T(t)=(p_A(t))^2=(t^2-1)^2。因為 A 的特徵值是 1-1,分別對應特徵向量 \begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -1  \end{array}\!\!\right],可知 T 有特徵值 1,相重數為 2,對應特徵向量 \begin{bmatrix}  1&1\\  1&1  \end{bmatrix},\begin{bmatrix}  1&-1\\  1&-1  \end{bmatrix},並有特徵值 -1,相重數為 2,對應特徵向量 \left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  -1&-1  \end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{rr}  1&-1\\  -1&1  \end{array}\!\!\right]

(b) 考慮線性算子 T 的特徵向量所構成的 \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) 的一組有序基底 \displaystyle   \boldsymbol{\beta}=\left\{X_1,X_2,X_3,X_4\right\},其中

\displaystyle   X_1=\begin{bmatrix}  1&1\\  1&1  \end{bmatrix},~X_2=\begin{bmatrix}  1&-1\\  1&-1  \end{bmatrix},~X_3=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&1\\  -1&-1  \end{array}\!\!\right],~X_4=\left[\!\!\begin{array}{rr}  1&-1\\  -1&1  \end{array}\!\!\right]

因為 T(X_1)=X_1T(X_2)=X_2T(X_3)=-X_3T(X_4)=-X_4,可得

\displaystyle  [T]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  [T(X_1)]_{\boldsymbol{\beta}}&[T(X_2)]_{\boldsymbol{\beta}}&[T(X_3)]_{\boldsymbol{\beta}}&[T(X_4)]_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&&&\\  &1&&\\  &&-1&\\  &&&-1  \end{bmatrix}

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3 則回應給 每週問題 February 17, 2014

  1. David 說:

    請問老師 此題特徵向量是否可寫成
    [ 1 0] [0 1] [1 0] [0 1]
    1 0 0 1 -1 0 0 -1
    還請老師指導

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