DSQ 向量空間1

數據充分性題型介紹

(1) Let S be the set of all real ordered pairs. Is S a vector space?

  1. (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) for all (x_1,y_1), (x_2,y_2)\in S.
  2. \alpha(x,y)=(\alpha x,0) for all (x,y)\in S and \alpha\in\mathbb{R}.

 
(2) Let \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) denote the vector space formed by all n\times n real matrices. Is S a subspace of \mathcal{M}_n(\mathbb{R})?

  1. S is the set of all upper triangular matrices.
  2. S is the set of all matrices with zero trace.

 
(3) Let \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 be vectors in \mathbb{R}^3. What is the dimension of \text{span}\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\}?

  1. \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2=(0,0,0)
  2. \mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3=(0,0,0)

 
(4) Let W=\left\{\left.\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}\right\vert a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\}. What is the dimension of W?

  1. For any A, AB=BA for all B\in M.
  2. abcd=0

 
(5) Is \mathbf{v}_3 a linear combination of \mathbf{v}_1 and \mathbf{v}_2?

  1. \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 are linearly dependent.
  2. \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4 are linearly independent.

 
(6) Let \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n be vectors in vector space \mathcal{V}. Is \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} a basis for \mathcal{V}?

  1. The vector space \mathcal{V} can be spanned by \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n, and \boldsymbol{\beta} is linearly independent.
  2. Every \mathbf{u}\in\mathcal{V} can be expressed as a linear combination of \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n, and any vector in \boldsymbol{\beta} is not a linear combination of the remaining vectors.

 
(7) Let S be a set of k vectors in \mathbb{R}^n. Is k<n?

  1. \mathbb{R}^n\neq\text{span}(S)
  2. The vectors in S are linearly independent.

 
(8) Are \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 linearly dependent?

  1. \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1 are linearly dependent.
  2. \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1 are linearly dependent.

 
(9) What is the dimension of the span of A\mathbf{v}_1, A\mathbf{v}_2, A\mathbf{v}_3?

  1. \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 are linearly independent.
  2. The columns of A are linearly independent.

 
(10) Let \mathcal{X} and \mathcal{Y} be two nontrivial subspaces in \mathbb{R}^6. The sum of \mathcal{X} and \mathcal{Y} is defined by \mathcal{X}+\mathcal{Y}=\{\mathbf{x}+\mathbf{y}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X},\mathbf{y}\in\mathcal{Y}\}. What is the dimension of \mathcal{X}+\mathcal{Y}?

  1. \dim\mathcal{Y}=\dim\mathcal{X}+2
  2. \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\}

 


參考解答

(1) B
向量加法運算 (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) 滿足交換律、結合律並存在零元 (0,0) 以及逆元,但這些訊息不足夠判斷 S 是否完全滿足向量空間定義的8個公理。純量乘法運算 \alpha(x,y)=(\alpha x,0) 不滿足 1(x,y)=(x,y),即不存在純量單位元,故可斷定 S 不是一個向量空間。

(2) D
\alpha\beta 是任何數。若 AB 為上三角矩陣,則 \alpha A+\beta B 亦為上三角矩陣。因此,所有的上三角矩陣形成的集合為一子空間。若 \text{trace}A=0\text{trace}B=0,利用跡數的線性函數性質,可得 \text{trace}(\alpha A+\beta B)=\alpha\text{trace}A+\beta\text{trace}B=0。因此,所有跡數等於零的矩陣所形成的集合為一子空間。

(3) E
A=\begin{bmatrix}  \mathbf{u}_1&\mathbf{u}_2&\mathbf{u}_3  \end{bmatrix}。陳述 (1) 說明 (1,1,0) 屬於零空間 \ker A,陳述 (2) 說明 (0,1,1) 屬於 \ker A,縱使合併二個陳述只能確認 \dim\ker A\ge 2。根據秩─零度定理,\text{span}\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\} 的維數,即 A 的秩為 \text{rank}A=3-\dim\ker A,也就是說 \text{rank}A=01

(4) A
對於任一 A, 若 AB=BA,則 B 為一純量矩陣 \alpha I,其中 \alpha 是任意數,推得 \dim W=1。若 abcd=0,則 A\in W 存在至少一個零元,滿足此條件的 W 並非一子空間,遑論判斷 W 的維數。

(5) C
陳述 (1) 說明存在不全為零的 c_1,c_2,c_3 使得 c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}。陳述 (2) 說明 \{\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} 的任何非空子集都是線性獨立的。任一單獨陳述無法回答 \mathbf{v}_1 是否可表示為 \mathbf{v}_2\mathbf{v}_3 的線性組合。若二個陳述同時成立,則 c_1\neq 0 否則 \mathbf{v}_2\mathbf{v}_3 線性相關,這與陳述 (2) 矛盾。所以,\mathbf{v}_1=-\frac{c_2}{c_1}\mathbf{v}_2-\frac{c_3}{c_1}\mathbf{v}_3

(6) D
陳述 (1) 是基底的定義,(2) 是以線性組合表達的等價陳述。

(7) C
向量集 S 無法生成 \mathbb{R}^n 表示 \text{span}(S)\mathbb{R}^n 的一個真子集 (proper set),即有 \dim \text{span}(S)<n,但不足以判定 kn 的大小關係。若 S 為一線性獨立集,則 S\text{span}(S) 的一組基底,因此 k=\dim\text{span}(S)\le n。若陳述 (1) 和 (2) 同時成立,則 k<n

(8) A
\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1 為一線性相關集,則存在不全為零的數組 c_1,c_2,c_3 使得

c_1(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)+c_2(\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)+c_3(\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_1)= (c_1+c_3)\mathbf{v}_1+(c_1+c_2)\mathbf{v}_2+(c_2+c_3)\mathbf{v}_3=\mathbf{0}

假設 c_1+c_3=c_1+c_2=c_2+c_3=0,或

\begin{bmatrix}  1&0&1\\  1&1&0\\  0&1&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_1\\  c_2\\  c_3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0\\  0\\  0  \end{bmatrix}

由於係數矩陣可逆,上式僅存在平凡解 c_1=c_2=c_3=0,這與前提矛盾,故證明 c_1+c_3, c_1+c_2, c_2+c_3 不全為零,也就是說,\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 是線性相關的。因為 (\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)+(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3)+(\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1)=\mathbf{0},即知任意 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 皆使 \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_3-\mathbf{v}_1 線性相關,故陳述 (2) 不足以斷定 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 的線性相關性。

(9) C
A 為一 m\times n 階矩陣,則 \mathbf{v}_in 維向量。若 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3 組成線性獨立集,則 \dim\text{span}\{A\mathbf{v}_1,A\mathbf{v}_2,A\mathbf{v}_3\}\le 3。若 A 有線性獨立的行向量,則 \ker A=\{\mathbf{0}\}。如果二個條件同時成立,考慮

c_1A\mathbf{v}_1+c_2A\mathbf{v}_2+c_3A\mathbf{v}_3=A(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3)=\mathbf{0}

陳述 (2) 表明 c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+c_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0},由 (1) 可推得 c_1=c_2=c_3=0。因此,\{A\mathbf{v}_1,A\mathbf{v}_2,A\mathbf{v}_3\} 是一個線性獨立集,生成的子空間的維數等於 3

(10) E
已知條件表明 0<\dim\mathcal{X}\le 60<\dim\mathcal{Y}\le 6。陳述 (1) \dim\mathcal{Y}=\dim\mathcal{X}+2 可得 (\dim\mathcal{X},\dim\mathcal{Y})=(1,3), (2,4), (3,5)(4,6)。若 \mathcal{X}\cap\mathcal{Y}=\{\mathbf{0}\},則 \dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})=\dim\mathcal{X}+\dim\mathcal{Y}\le 6,因為 \mathcal{X}+\mathcal{Y}\mathbb{R}^6 的一個子空間。如果陳述 (1) 和 (2) 同時成立,則 (\dim\mathcal{X},\dim\mathcal{Y})=(1,3)(2,4),即 \dim(\mathcal{X}+\mathcal{Y})=46

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