DSQ 向量空間2

數據充分性題型介紹

(1) Let C(A) be the column space of A and N(A) be the nullspace of A. Is A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} the zero matrix?

  1. \dim C(A)<2
  2. \dim C(A)<\dim N(A)

 
(2) If a,b,c,d are real, what is the rank of A=\begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix}?

  1. a+b=c+d=0
  2. c=1

 
(3) Let A be an m\times n real matrix. What is the row space of A?

  1. A has linearly independent columns.
  2. The nullspace of A contains only the zero vector.

 
(4) Let A be an m\times n real matrix. Is A\mathbf{x}=\mathbf{b} consistent (solvable) for all \mathbf{b}\in\mathbb{R}^m?

  1. A has linearly independent rows.
  2. The nullspace of A contains only the zero vector.

 
(5) For a,b,c\in\mathbb{R}, what is A=\begin{bmatrix}  a&b&c  \end{bmatrix}?

  1. The nullspace of A consists of all vectors (x,y,z) such that x+2y+3z=0.
  2. a=5

 
(6) If A=\begin{bmatrix}  1&b\\  c&d  \end{bmatrix}, what is the value of d?

  1. A has rank one and b=2.
  2. A has rank one and c=0.

 
(7) Let B=\begin{bmatrix}  A&\mathbf{b}  \end{bmatrix}, where A is an m\times n real matrix and \mathbf{b} is an m-dimensional real vector. Does A\mathbf{x}=\mathbf{b} has a unique solution?

  1. \text{rank}B=\text{rank}A=n
  2. \text{rank}B=\text{rank}A=m

 
(8) Let A and B be n\times n matrices. Is \text{rank}(A^2)=\text{rank}(B^2)?

  1. \text{rank}A=\text{rank}B
  2. AB=0

 
(9) Let A and B be n\times n matrices. Is A=B?

  1. The column space of A equals the column space of B and the nullspace of A equals the nullspace of B.
  2. The column space of A^T equals the column space of B^T and the nullspace of A^T equals the nullspace of B^T.

 
(10) If A is an m\times n matrix of rank r, is r<n?

  1. There are vectors \mathbf{b} for which A\mathbf{x}=\mathbf{b} has no solution.
  2. There are vectors \mathbf{b} for which A\mathbf{x}=\mathbf{b} has infinitely many solutions.

 


參考解答

(1) B
陳述 (1) \dim C(A)<2 不表示 A=0。秩─零度定理說 \dim C(A)+\dim N(A)=2。若 \dim C(A)<\dim N(A),則 \dim C(A)< 2-\dim C(A),即 \dim C(A)=0,也就是說,A=0

(2) C
a+b=0c+d=0,則 (1,1) 屬於零空間 N(A),可知 \dim N(A)>0。若 c=1,則行空間 C(A) 包含非零向量,即 \dim C(A)>0。使用秩─零度定理 \dim C(A)+\dim N(A)=2,合併陳述 (1) 和 (2) 可得 \dim C(A)=1\dim N(A)=1,所以 \text{rank}A=\dim C(A)=1

(3) D
A 有線性獨立的行向量,則 \text{rank}A=\dim C(A)=\dim C(A^T)=n,即知 C(A^T)=\mathbb{R}^n。若 N(A)=\{\mathbf{0}\},使用補子空間性質 C(A^T)\cap N(A)=\{\mathbf{0}\}C(A^T)+N(A)=\mathbb{R}^n,可得 C(A^T)=\mathbb{R}^n。以上結果顯示陳述 (1) 等價於陳述 (2)。

(4) A
A 有線性獨立的列向量,則 \text{rank}A=\dim C(A)=m,表示行空間 C(A) 充滿整個 \mathbb{R}^m,所以 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 必定有解。若 N(A)=\{\mathbf{0}\},則 C(A^T)=\mathbb{R}^n。當 m>n,行空間 C(A) 未能充滿整個 \mathbb{R}^m,故不保證 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 總是存在一解。

(5) C
陳述 (1) 說明 ax+by+cz=0x+2y+3z=0。如果加入陳述 (2),a=5,則 b=10c=15

(6) B
\text{rank}A=1。若 b=2,則 (1,2)(c,d) 線性相關,故 d=2c。但 c 未給定,因此無法確定 d。若 c=0,則 (1,b)(0,d) 線性相關,推論 d=0

(7) A
明顯地,C(A)\subseteq C(B)。如果 \text{rank}B=\text{rank}A,則 C(B)=C(A),也就是說,\mathbf{b} 屬於行空間 C(A),故可推論 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 存在至少一解。若 \text{rank}B=\text{rank}A=n,則 A 有線性獨立的行向量,也就是說 N(A)=\{\mathbf{0}\},故知 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有唯一解。若 \text{rank}B=\text{rank}A=m,則 \dim N(A)=n-m,由此無法確定 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 是否有唯一解。

(8) E
考慮 A=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix},則 \text{rank}A=\text{rank}B=1AB=0。計算出 A^2=\begin{bmatrix}  0&0\\  0&0  \end{bmatrix}B^2=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix},可知 \text{rank}(A^2)=0\text{rank}(B^2)=1

(9) E
即便 AB 有相同的四個基本子空間,C(A)=C(B)N(A)=N(B)C(A^T)=C(B^T)N(A^T)=N(B^T),我們仍無法確定 A 是否等於 B。考慮 A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&b  \end{bmatrix},其中 b\neq 0

(10) B
陳述 (1) A\mathbf{x}=\mathbf{b} 無解,表示行空間 C(A) 未能充滿整個 \mathbb{R}^m,即 r<m。陳述 (2) A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有無限多組解,表示零空間 N(A) 包含非零向量,即 \dim N(A)=n-r>0r<n

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