DSQ 特徵分析1


(1) If A is a 10 by 10 matrix, what are the eigenvalues of A?

  1. A^2=I
  2. \text{trace}A=4

(2) Let A be a 2\times 2 matrix. What is the determinant of A?

  1. The characteristic polynomial of A is p(t)=t^2-2t-3.
  2. It is known that \text{trace}A=2 and \text{trace}(A^2)=10.

(3) Let A be a 3\times 3 real matrix. What is the rank of A?

  1. A has two different eigenvalues 0, 1.
  2. \text{trace}A=1

(4) What is the determinant of A^2+A?

  1. A is known to have eigenvalues 1, 1, 2.
  2. \det A=2

(5) Let A be a 2 by 2 matrix. Does A have at least one nonzero entry?

  1. A is known to have eigenvalues 0, 0.
  2. A^2=0

(6) Let A be an n\times n matrix. Is A diagonalizable?

  1. It is known that the only eigenvalue of A is 1.
  2. A+2I is diagonalizable.

(7) If -2, 1, k are the eigenvalues of a 3\times 3 matrix A, is A invertible?

  1. \text{trace}A=0
  2. A is not diagonalizable.

(8) Let A and B be n\times n matrices. Is A=B?

  1. A and B have the same four fundamental subspaces.
  2. A and B have the same eigenvalues \lambda_1,\ldots,\lambda_n with the same independent eigenvectors \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n.

(9) Let A be a 2\times 2 matrix. What is A?

  1. The eigenvalues of A are 1,3, and the corresponding eigenvectors are (1,1), (1,-1).
  2. It is known that A has positive eigenvalues and A^2=\left[\!\!\begin{array}{rr}  5&-4\\  -4&5  \end{array}\!\!\right].

(10) Let A be a square matrix and let a and b be two scalars. Is N(A-aI)\neq N(A-bI)?

  1. It is known that a and b are different eigenvalues of A.
  2. a\neq b



(1) C
\lambda_iA 的一個特徵值,則存在非零向量 \mathbf{x} 使得 A\mathbf{x}=\lambda_i\mathbf{x}。左乘 A,可得 A^2\mathbf{x}=\lambda_i A\mathbf{x}=\lambda_i^2\mathbf{x},故 \lambda_i^2A^2 的一個特徵值,對應特徵向量 \mathbf{x}。陳述 (1) A^2=I 說明 \lambda_i=\pm 11\le i\le 10。矩陣跡數是特徵值的和,陳述 (2) 說 \text{trace}A=\sum_{i=1}^{10}\lambda_i=4。如果二個陳述同時成立,設 Ak 個特徵值 1,則 \text{trace}A=k-(10-k)=4,解出 k=7,故 A 有相重數為 7 的特徵值 1,相重數為 3 的特徵值 -1

(2) D
A 有特徵值 \lambda_1\lambda_2,則特徵多項式為 p(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)=t^2-(\lambda_1+\lambda_2)t+\lambda_1\lambda_2。因為 \det A=\lambda_1\lambda_2,由陳述 (1) 可知 \det A=-3。平方 \text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2,並使用 \text{trace}(A^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2,可得 (\text{trace}A)^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+2\lambda_1\lambda_2=\text{trace}(A^2)+2\det A,解出 \det A=\frac{1}{2}((\text{trace}A)^2-\text{trace}(A^2)),由陳述 (2) 可得 \det A=\frac{1}{2}(2^2-10)=-3

(3) E
A 有相異特徵值 0, 1A 實際可能有特徵值 0,0,10,1,1。若 \text{trace}A=1,表明特徵值的和等於 1。陳述 (1) 或 (2) 皆不足以斷定 A 的行空間的維數,即 \text{rank}A。如果二個陳述同時成立,可知 A 有特徵值 0,0,1,說明 \text{rank}A\ge 1,但仍無法確定其值。舉例來說,若 A=\begin{bmatrix}  0&0&0\\  0&0&0\\  0&0&1  \end{bmatrix},則 \text{rank}A=1;若 A=\begin{bmatrix}  0&1&0\\  0&0&0\\  0&0&1  \end{bmatrix},則 \text{rank}A=2

(4) A
考慮 \det(A^2+A)=\det(A(A+I))=(\det A)\det(A+I)。若 A 有特徵值 1,1,2,則 A+I 有特徵值 2,2,3。所以,\det A=1\cdot 1\cdot 2=2\det(A+I)=2\cdot 2\cdot 3=12,故 \det(A^2+A)=2\cdot 12=24。不過,僅由 \det A=2 無法決定 \det(A+I)。例如,若 A 有特徵值 1,4,\frac{1}{2},則 \det A=1\cdot 4\cdot\frac{1}{2}=2,但 \det(A+I)=2\cdot 5\cdot \frac{3}{2}=15,與前面的結果不同。

(5) E
矩陣 A 的特徵值皆為零不能判定 A 是否為零矩陣,例如,A=\begin{bmatrix}  0&a\\  0&0  \end{bmatrix}。冪矩陣 A^2=0 不表示 A=0,如上例。

(6) B
矩陣 A 有相重特徵值 1 無法判斷 A 是否可對角化。例如,A=\begin{bmatrix}  1&a\\  0&1  \end{bmatrix}。若 a=0,則 A 可對角化;若 a\neq 0,則 A 不可對角化。若 A+2I 可對角化,設 A+2I=SDS^{-1},其中 D 是一個對角矩陣,則 S^{-1}(A+2I)S=S^{-1}AS+2I=DS^{-1}AS=D-2I,得知 A 可對角化為 D-2I

(7) D
因為 \text{trace}A=-2+1+k=0,可得 k=1,故 A 不含零特徵值,表示 A 是可逆矩陣。若 A 不可對角化,則 A 包含相重的特徵值,也就是說,k=-2k=1,因此 A 是可逆矩陣。

(8) B
矩陣 AB 有相同的四個基本子空間不保證二矩陣相同,例如,A=IB=2I。若 AB 有相同的獨立特徵向量 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n,對應特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_n,則任一 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n 可唯一表示為 \mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n,因此

\displaystyle\begin{aligned}  A\mathbf{x}&=\sum_{i=1}^nA(c_i\mathbf{x}_i)=\sum_{i=1}^nc_iA\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\lambda_i\mathbf{x}_i\\  B\mathbf{x}&=\sum_{i=1}^nB(c_i\mathbf{x}_i)=\sum_{i=1}^nc_iB\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\lambda_i\mathbf{x}_i.  \end{aligned}

上式表明每一 \mathbf{x} 滿足 A\mathbf{x}=B\mathbf{x},故 A=B

(9) D
陳述 (1) 表明 A 可對角化,計算結果如下:

\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&1\\  1&-1  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  1&0\\  0&3  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&1\\  1&-1  \end{array}\!\!\right]^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  2&-1\\  -1&2  \end{array}\!\!\right]

陳述 (2) 給出 A^2=\left[\!\!\begin{array}{rr}  5&-4\\  -4&5  \end{array}\!\!\right],解得特徵值為 1, 9,分別對應特徵向量 (1,1), (1,-1)。已知 A 有正特徵值,故 A 的特徵值為 1,3,特徵向量同 A^2 的特徵向量。

(10) A
abA 的相異特徵值,則特徵向量 \mathbf{x}\in N(A-aI)\mathbf{y}\in N(A-bI) 必定線性獨立,因此 N(A-aI)\neq N(A-bI)。陳述 (2) a\neq b 不能斷定 N(A-aI) 是否等於 N(A-bI)。例如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix},當 a=2b=3N(A-2I)=N(A-3I)=\{\mathbf{0}\}

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