每週問題 March 3, 2014

這是關於二個半正定矩陣積的跡數與二次型問題。

Let and be real symmetric matrices and let and be positive semidefinite. Prove the following statements.
(a) If , then .
(b) If for all real , then .

 
參考解答：

(a) 為方便說明，我們以 表示 是一實對稱正定矩陣。令 表示 的平方根，滿足 且 。使用跡數的循環不變性，

其中 表示 Frobenius 範數。上式表明 。左乘 ，右乘 ，即得 ，而且 。

(b) 假設每一 使得 。令 為標準單位向量，即第 元為 ，其餘元為 。計算二次型，如下：

且

。

所以， 是反對稱 (anti-symmetric) 矩陣，即 。等號兩邊取跡數並使用循環不變性，可得

，

故 。根據 (a)，推得 。

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