矩陣相似於其共軛轉置的充要條件

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任一 n\times n 階複矩陣 A 相似於其轉置矩陣 A^T (見“矩陣與其轉置的相似性”),但 A 未必相似於其共軛轉置 A^\ast (即 \overline{A}^T),原因在於它們的特徵值可能相異。例如,A=\begin{bmatrix}  1&1-2i\\  0&i  \end{bmatrix} 有特徵值 1ii=\sqrt{-1} 是虛數單位,但 A^\ast=\begin{bmatrix}  1&0\\  1+2i&-i  \end{bmatrix} 的特徵值為 1-i。矩陣與其共軛轉置是否相似完全由 Jordan 典型形式決定,本篇短文將討論這個主題。

 
A 為一 n\times n 階複矩陣,並令 A 的 Jordan 形式為

\displaystyle  A=MJM^{-1}

其中 J 是 Jordan 矩陣。由上式可得 A^\ast=(MJM^{-1})^\ast=(M^\ast)^{-1}J^\ast M^\ast,即知 A^\ast 相似於 J^\ast=\overline{J}^T,也就相似於 \overline{J},因為相似具備傳遞性。所以,A 相似於 A^\ast 等價於 J 相似於 \overline{J}。通過解析 Jordan 矩陣的結構,我們可以找出 J 相似於 \overline{J} 的條件。

 
A 有相異特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_k,Jordan 矩陣 J 由一組「超級」Jordan 分塊 J(\lambda_i) 的直和構成 (見“Jordan 形式大解讀 (上)”):

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}    J(\lambda_1)&&&\\    &J(\lambda_2)&&\\    &&\ddots&\\    &&&J(\lambda_k)    \end{bmatrix}=J(\lambda_1)\oplus J(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k)

對應每一特徵值 \lambda_i,設相重數 (代數重數) 為 \beta_i,「超級」Jordan 分塊 J(\lambda_i) 為一 \beta_i\times\beta_i 階矩陣,由次級的 n_i 個「基本」Jordan 分塊 (或直接稱為 Jordan 分塊) 的直和形成,如下:

J(\lambda_i)=J_1(\lambda_i)\oplus J_2(\lambda_i)\oplus\cdots\oplus J_{n_i}(\lambda_i)

其中 Jordan 分塊 J_{r}(\lambda_i) (r 代表標號,並非該分塊的尺寸大小) 是具有下列形式的上三角矩陣 (見“Jordan 分塊”):

J_r(\lambda_i)=\begin{bmatrix}    \lambda_i&1&~&~\\    ~&\ddots&\ddots&~\\    ~&~&\ddots&1\\    ~&~&~&\lambda_i    \end{bmatrix}

簡單講,Jordan 矩陣由所有的 Jordan 分塊的直和組成。如果不考慮 Jordan 分塊的排序,任一方陣有唯一的 Jordan 矩陣。因為 \overline{J_r(\lambda_i)}=J_r(\overline{\lambda_i}),這說明 A^\ast (同樣也是 \overline{J}) 的特徵值為 \overline{\lambda_1},\ldots,\overline{\lambda_k}。根據以上結果,A 相似於 A^\ast (即 J 相似於 \overline{J}) 的充分與必要條件是 A 的非實特徵值必須為共軛對,即 \lambda_i=\overline{\lambda_j}i\neq j,而且對應的 Jordan 分塊也為共軛對,即每一 r 都有 J_r(\lambda_i)=J_r(\overline{\lambda_j})i\neq j。如下例,

\displaystyle  J=\begin{bmatrix}  2+3i&1&\vline& & & & & &\\  &2+3i&\vline& & & & & \\\cline{1-5}  & &\vline & 2-3i& 1& \vline & & &\\  & &\vline & & 2-3i& \vline  & & &\\\cline{4-5}  & & & & &  &1+i  & &\\  & & & & &  &   & 1-i& \\  & & & & &  &   & & 4  \end{bmatrix}

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