## 利用行列式求直線、平面和圓方程式

$\displaystyle \left|\!\!\begin{array}{rcc} x&y&1\\ 2&1&1\\ -3&4&1 \end{array}\!\!\right|=0$

\displaystyle\begin{aligned} ax_1+by_1+c&=0\\ ax_2+by_2+c&=0. \end{aligned}

\displaystyle\begin{aligned} ax+by+c&=0\\ ax_1+by_1+c&=0\\ ax_2+by_2+c&=0, \end{aligned}

$\displaystyle \begin{bmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}=0$

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1-x&y_1-y&0\\ x_2-x_1&y_2-y_1&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_1-x&y_1-y\\ x_2-x_1&y_2-y_1 \end{vmatrix}\\ &=(x_1-x)(y_2-y_1)-(x_2-x_1)(y_1-y)=0, \end{aligned}

$\displaystyle y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

\displaystyle\begin{aligned} ax+by+cz+d&=0\\ ax_1+by_1+cz_1+d&=0\\ ax_2+by_2+cz_2+d&=0\\ ax_3+by_3+cz_3+d&=0. \end{aligned}

$\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&z&1\\ x_1&y_1&z_1&1\\ x_2&y_2&z_2&1\\ x_3&y_3&z_3&1 \end{vmatrix}=0$

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} x&y&z&1\\ x_1&y_1&z_1&1\\ x_2&y_2&z_2&1\\ x_3&y_3&z_3&1 \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} x&y&z&1\\ x_1&y_1&z_1&1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1&0\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x&y&z&1\\ x_1-x&y_1-y&z_1-z&0\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1&0\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1&0 \end{vmatrix}\\ &=-\begin{vmatrix} x_1-x&y_1-y&z_1-z\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}\\ &=(x-x_1)\begin{vmatrix} y_2-y_1&z_2-z_1\\ y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}+(y-y_1)\begin{vmatrix} z_2-z_1&x_2-x_1\\ z_3-z_1&x_3-x_1 \end{vmatrix}\\ &~~~+(z-z_1)\begin{vmatrix} x_2-x_1&y_2-y_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1 \end{vmatrix}=0.\end{aligned}

$\mathbf{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$$\mathbf{v}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$。向量 $\mathbf{u}$$\mathbf{v}$ 的外積 (cross product，或稱向量積) $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ 代表平面 $ax+by+cz+d=0$ 的法向量 (normal vector，或稱公垂向量)，可用行列式表示為 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”)

$\displaystyle \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\left(\begin{vmatrix} y_2-y_1&z_2-z_1\\ y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} z_2-z_1&x_2-x_1\\ z_3-z_1&x_3-x_1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} x_2-x_1&y_2-y_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1 \end{vmatrix}\right)$

\displaystyle\begin{aligned} a(x^2+y^2)+bx+cy+d&=0\\ a(x_1^2+y_1^2)+bx_1+cy_1+d&=0\\ a(x_2^2+y_2^2)+bx_2+cy_2+d&=0\\ a(x_3^2+y_3^2)+bx_3+cy_3+d&=0. \end{aligned}

$\displaystyle \begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{vmatrix}=0$

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ 2&1&1&1\\ 50&1&7&1\\ 32&4&4&1 \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ 2&1&1&1\\ 48&0&6&0\\ 30&3&3&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ 2-(x^2+y^2)&1-x&1-y&0\\ 48&0&6&0\\ 30&3&3&0 \end{vmatrix}\\ &=-\begin{vmatrix} 2-(x^2+y^2)&1-x&1-y\\ 48&0&6\\ 30&3&3 \end{vmatrix}\\ &=-6\cdot 3\cdot\begin{vmatrix} 2-(x^2+y^2)&1-x&1-y\\ 8&0&1\\ 10&1&1 \end{vmatrix}\\ &=-18\left(x^2+y^2-2x-8y+8\right)=0.\end{aligned}

$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} x^2&xy&y^2&x&y&1\\ x_1^2&x_1y_1&y_1^2&x_1&y_1&1\\ x_2^2&x_2y_2&y_2^2&x_2&y_2&1\\ x_3^2&x_3y_3&y_3^2&x_3&y_3&1\\ x_4^2&x_4y_4&y_4^2&x_4&y_4&1\\ x_5^2&x_5y_5&y_5^2&x_5&y_5&1 \end{vmatrix}=0$

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### 6 則回應給 利用行列式求直線、平面和圓方程式

1. Watt Lin 說：

我在高中時期，老師沒教，國立編譯館的數學課本也沒這樣寫。
當年，如果知道這些行列式的妙用，應該是很有趣的事！

• ccjou 說：

說的對。人多少總會畫地自限。拿我自已來說，五年來寫了300多篇，直到昨天才突然動念想寫些解析幾何的主題。「線代啟示錄」這個名稱反而讓我綁手綁腳的。

2. Chua 說：

96年指考數乙有一題也是考類似的以行列式表示橢圓，當時邊作答邊覺得有意思有意思。沒想到多年後偶然看到相關推論

• ccjou 說：
3. 柏宗 說：

請問(5,10 )(6,9)(-2, 3) 求圓方程式
可以幫我列式嗎？

• ccjou 說：

上文已經舉了一個例子。