每週問題 March 10, 2014

證明任一主對角元為零的方陣必可表示為交換子 [B,C]=BC-CB

Let A=[a_{ij}] be an n\times n matrix with a_{ii}=0 for all i. Show that there exist n\times n matrices B and C such that A=BC-CB.

 
參考解答:

B=[b_{ij}]C=[c_{ij}]n\times n 階矩陣且 B 為對角矩陣,則

\displaystyle\begin{aligned}  BC-CB&=\begin{bmatrix}  b_{11}&&&\\  &b_{22}&&\\  &&\ddots&\\  &&&b_{nn}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\  c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}  \end{bmatrix}\\  &~~~~~-\begin{bmatrix}  c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\\  c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  b_{11}&&&\\  &b_{22}&&\\  &&\ddots&\\  &&&b_{nn}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  0&(b_{11}-b_{22})c_{12}&\cdots&(b_{11}-b_{nn})c_{1n}\\  (b_{22}-b_{11})c_{21}&0&\cdots&(b_{22}-b_{nn})c_{2n}\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  (b_{nn}-b_{11})c_{n1}&(b_{nn}-b_{22})c_{n2}&\cdots&0  \end{bmatrix}.  \end{aligned}

比較 A=BC-CB 的等號兩邊,可得 a_{ij}=(b_{ii}-b_{jj})c_{ij}i\neq j。設 B 有相異的主對角元,則得 c_{ij}=a_{ij}/(b_{ii}-b_{jj})i\neq j。矩陣 C 的主對角元 c_{ii} 可為任意數。

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