每週問題 March 24, 2014

這是一個特殊形態行列式計算問題。

Let

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  p_1&a&a&\cdots&a&a\\  a&p_2&a&\cdots&a&a\\  a&a&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  a&a&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  a&a&a&\cdots&a&p_n  \end{bmatrix}.

Show that

\displaystyle  \det A=a\sum_{i=1}^{n-1}\prod_{1\le j\le n\atop j\neq i}(p_j-a)+p_n\prod_{1\le j\le n-1}(p_j-a).

 
參考解答:

A_k 表示 A 的右下 k\times k 階分塊。計算 \det A,將第一行減去第二行,再由第一行展開,如下:

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  p_1&a&a&\cdots&a&a\\  a&p_2&a&\cdots&a&a\\  a&a&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  a&a&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  a&a&a&\cdots&a&p_n  \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}  p_1-a&a&a&\cdots&a&a\\  a-p_2&p_2&a&\cdots&a&a\\  0&a&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&a&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  0&a&a&\cdots&a&p_n  \end{vmatrix}\\  &=(p_1-a)\begin{vmatrix}  p_2&a&\cdots&a&a\\  a&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  a&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  a&a&\cdots&a&p_n  \end{vmatrix}\\  &~~~+(p_2-a)\begin{vmatrix}  a&a&\cdots&a&a\\  a&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  a&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  a&a&\cdots&a&p_n  \end{vmatrix}.  \end{aligned}

重複相同方式,上式第二項可化簡為

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  a&a&\cdots&a&a\\  a&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  a&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  a&a&\cdots&a&p_n  \end{vmatrix}&=a\begin{vmatrix}  0&1&\cdots&1&1\\  a-p_3&p_3&\cdots&a&a\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\  0&a&\cdots&p_{n-1}&a\\  0&a&\cdots&a&p_n  \end{vmatrix}\\  &=a(p_3-a)(p_4-a)\cdots(p_n-a).  \end{aligned}

繼續迭代,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \det A&=(p_1-a)\det A_{n-1}+a\prod_{2\le j\le n}(p_j-a)\\  &=(p_1-a)\left[(p_2-a)\det A_{n-2}+a\prod_{3\le j\le n}(p_j-a)\right]+a\prod_{2\le j\le n}(p_j-a)\\  &=(p_1-a)(p_2-a)\det A_{n-2}+a\prod_{1\le j\le n\atop j\neq 2}(p_j-a)+a\prod_{2\le j\le n}(p_j-a)\\  &=\cdots\\  &=(p_1-a)(p_2-a)\cdots(p_{n-2}-a)\det A_2+a\prod_{1\le j\le n\atop j\neq n-2}(p_j-a)+\cdots+a\prod_{2\le j\le n}(p_j-a),  \end{aligned}

其中

\displaystyle  \det A_2=p_np_{n-1}-a^2=p_n(p_{n-1}-a)+(p_n-a)a

合併上面兩式,即得證。

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