每週問題 March 31, 2014

這是證明半正定矩陣和 Hermitian 矩陣乘積的特徵值必為實數。

Let and be Hermitian matrices. Prove that following statements.

(a) If or is positive semidefinite, then all the eigenvalues of are real.
(b) If and are positive semidefinite, then all the eigenvalues of are nonnegative.

參考解答：

(a) 假設 和 為 Hermitian，且 為半正定矩陣。寫出 ，其中 也是 Hermitian 半正定矩陣。因為 和 有相同的特徵值，但 是 Hermitian 矩陣，其特徵值皆為實數，故 有實特徵值。

(b) 假設 和 是 Hermitian 半正定矩陣。對於任一非零向量 ，

，

故 是半正定矩陣，其特徵值皆為非負數。如 (a)， 和 有相同的非負特徵值，因此證得所求。

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