## 每週問題 March 31, 2014

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ Hermitian matrices. Prove that following statements.

(a) If $A$ or $B$ is positive semidefinite, then all the eigenvalues of $AB$ are real.
(b) If $A$ and $B$ are positive semidefinite, then all the eigenvalues of $AB$ are nonnegative.

(a) 假設 $A$$B$ 為 Hermitian，且 $A$ 為半正定矩陣。寫出 $A=\sqrt{A}\sqrt{A}$，其中 $\sqrt{A}$ 也是 Hermitian 半正定矩陣。因為 $AB=\sqrt{A}\left(\sqrt{A}B\right)$$\sqrt{A}B\sqrt{A}$ 有相同的特徵值，但 $\sqrt{A}B\sqrt{A}$ 是 Hermitian 矩陣，其特徵值皆為實數，故 $AB$ 有實特徵值。

(b) 假設 $A$$B$ 是 Hermitian 半正定矩陣。對於任一非零向量 $\mathbf{x}$

$\displaystyle \mathbf{x}^\ast\sqrt{A}B\sqrt{A}\mathbf{x}=\left(\sqrt{A}\mathbf{x}\right)^\ast B\left(\sqrt{A}\mathbf{x}\right)\ge 0$

$\sqrt{A}B\sqrt{A}$ 是半正定矩陣，其特徵值皆為非負數。如 (a)，$AB$$\sqrt{A}B\sqrt{A}$ 有相同的非負特徵值，因此證得所求。