答Eric──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣的逆矩陣

網友Eric留言:

您好,我剛初學到這個環節,看了此文後 (答npes_87184──關於參考不同的定義域基底與到達域基底的線性變換表示矩陣轉換問題),想請教兩個問題:

  1. \mathcal{V} 為向量空間,\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma} 為其上兩組基底,T:\mathcal{V}\to\mathcal{V},則 T^{-1} 不一定存在吧?是故縱 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}} 存在,\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}} 也不一定存在吧?
  2. T:\mathcal{V}\to\mathcal{V} 存在反函數 T^{-1},則矩陣表示法 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}} 的關係即是 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}=\left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1},我以為似乎不必大費周章討論那麼多?

 
答曰:

{\boldsymbol{\beta}}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}{\boldsymbol{\gamma}}=\{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\} 是向量空間 \mathcal{V} 的兩組基底。根據定義,線性變換 T 參考基底 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma} 的表示矩陣

\begin{bmatrix}  T\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_1)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\cdots&\begin{bmatrix}  T(\mathbf{v}_n)\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}

唯一存在,這是因為每一個 T(\mathbf{v}_j)j=1,\ldots,n,可唯一表示成基底向量 \{\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n\} 的線性組合。利用對稱性,置換 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma},即知 T 參考基底 \boldsymbol{\gamma}\boldsymbol{\beta} 的表示矩陣 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}} 也唯一存在。前文曾經證明這兩個表示矩陣滿足關係式

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}

其中 I 是單位變換,即對於任一 \mathbf{x}\in\mathcal{V}I(\mathbf{x})=\mathbf{x}。我們知道座標變換矩陣滿足 \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}=\left(\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1},上式等號兩邊左右同乘 \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}},可得

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}

 
T 是一可逆變換,則 TT^{-1} 的表示矩陣之間的關係可由下圖表示:

表示矩陣

因此,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}=I

其中 I 是單位矩陣,故逆變換 T^{-1} 參考 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\gamma} 的表示矩陣為

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1}

請注意,除非 T=I\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}} 的逆矩陣是 \begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}} 而非 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}},它們的逆矩陣滿足下列等式:

\displaystyle\begin{aligned}  \left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1}&=\left(\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1}\\  &=\left(\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1}\left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\left(\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1}\\  &=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}  \left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}.  \end{aligned}

換句話說,

\displaystyle  \begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}

 
下面舉一例說明。令 \mathcal{P}_1 表示一次多項式形成的向量空間,且 T(p(t))=p(t+1),其中 p(t)\in\mathcal{P}_1。令 \boldsymbol{\beta}=\{t,2t+1\}\boldsymbol{\gamma}=\{t-1,-t+2\}\mathcal{P}_1 上的二有序基底。線性變換表示矩陣 \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}} 分別計算如下:

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(t)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\begin{bmatrix}  T(2t+1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [t+1]_{\boldsymbol{\gamma}}&[2t+3]_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  3&7\\  2&5  \end{bmatrix}\\  \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T(t-1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&\begin{bmatrix}  T(-t+2)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [t]_{\boldsymbol{\beta}}&[-t+1]_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-3\\  0&1  \end{array}\!\!\right].  \end{aligned}

二基底之間的座標變換矩陣為

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  I(t)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\begin{bmatrix}  I(2t+1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [t]_{\boldsymbol{\gamma}}&[2t+1]_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  2&5\\  1&3  \end{bmatrix}\\  \begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  I(t-1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&\begin{bmatrix}  I(-t+2)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [t-1]_{\boldsymbol{\beta}}&[-t+2]_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  3&-5\\  -1&2  \end{array}\!\!\right].  \end{aligned}

計算結果與理論吻合:

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rr}  3&-5\\  -1&2  \end{array}\!\!\right]  \begin{bmatrix}  3&7\\  2&5  \end{bmatrix}  \left[\!\!\begin{array}{rr}  3&-5\\  -1&2  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rr}  -1&-4\\  1&3  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rr}  3&-5\\  -1&2  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-3\\  0&1  \end{array}\!\!\right]  \end{aligned}

而且

\displaystyle\begin{aligned}  \left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}\right)^{-1}&=\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\left(\begin{bmatrix}  T  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\gamma}}_{\boldsymbol{\beta}}\right)^{-1}\begin{bmatrix}  I  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}\\  &=\left[\!\!\begin{array}{cc}  2&5\\  1&3  \end{array}\!\!\right]  \begin{bmatrix}  3&7\\  2&5  \end{bmatrix}^{-1}  \left[\!\!\begin{array}{cc}  2&5\\  1&3  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{cc}  2&5\\  1&3  \end{array}\!\!\right]  \left[\!\!\begin{array}{rr}  5&-7\\  -2&3  \end{array}\!\!\right]  \left[\!\!\begin{array}{cc}  2&5\\  1&3  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rc}  0&1\\  -1&2  \end{array}\!\!\right]  \left[\!\!\begin{array}{cc}  2&5\\  1&3  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{cc}  1&3\\  0&1  \end{array}\!\!\right].  \end{aligned}

另一方面,T^{-1}(p(t))=p(t-1),則有

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T^{-1}(t)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}&\begin{bmatrix}  T^{-1}(2t+1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [t-1]_{\boldsymbol{\gamma}}&[2t-1]_{\boldsymbol{\gamma}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&3\\  0&1  \end{bmatrix}\\  \begin{bmatrix}  T^{-1}  \end{bmatrix}^{\boldsymbol{\beta}}_{\boldsymbol{\gamma}}&=\begin{bmatrix}  \begin{bmatrix}  T^{-1}(t-1)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&\begin{bmatrix}  T^{-1}(-t+2)  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  [t-2]_{\boldsymbol{\beta}}&[-t+3]_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{rr}  5&-7\\  -2&3  \end{array}\!\!\right].  \end{aligned}

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