利用行列式推導三角形的四心座標公式

本文的閱讀等級:初級

三角形的四心是指重心 (centroid)、內心 (incenter)、外心 (circumcenter) 和垂心 (orthocenter)。給定平面上三角形的三個頂點座標,現行的高中解析幾何多採用向量方法求三角形的四心,本文介紹一個少見的解法:利用直線的行列式表達式推導三角形的四心座標公式。

 
三角形面積

給定平面上三角形的三個頂點座標 (按照逆時針排序) A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),三角形面積 \Delta 可由下式求得 (見“利用行列式計算多邊形面積”):

\displaystyle \Delta=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}

\Delta=0,則 A, B, C 三點位於同一直線上,或稱共線。

 
直線方程式

穿越平面上兩點 (x_1,y_1)(x_2,y_2) 的直線方程式可用行列式表示如下 (見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”):

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}=0

考慮特殊情況:若 (a,0) 是直線與X軸的交點,(0,b) 是直線與Y軸的交點,a 稱為X截距,b 稱為Y截距,則直線方程式為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ a&0&1\\ 0&b&1 \end{vmatrix}=0

展開上式,ab-bx-ay=0。若 ab\neq 0,即得截距式

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

利用行列式性質化簡一般直線方程式,

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1&0\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1&0\\ x_1-x_2&y_1-y_2&0\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1\\ x_1-x_2&y_1-y_2 \end{vmatrix}=0,\end{aligned}

乘開便導出兩點式

\displaystyle \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

x_1\neq x_2,直線方程式可表示為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1\\ x_1-x_2&y_1-y_2 \end{vmatrix}=(x_1-x_2)\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1\\ 1&m \end{vmatrix}=0

其中 m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} 是直線的斜率,可得點斜式

\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)

不難證明點斜式也可用三階行列式表示為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ 1&m&0 \end{vmatrix}=0

 
考慮較為複雜的命題。通過 (x_3,y_3) 並與穿越 (x_1,y_1)(x_2,y_2) 的直線平行的直線方程式為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_3&y_3&1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&0 \end{vmatrix}=0

證明於下:所求即為通過 (x_3,y_3) 且斜率為 m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} 的直線方程式。利用點斜式,

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_3&y_3&1\\ 1&\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}&0 \end{vmatrix}=\frac{1}{x_2-x_1}\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_3&y_3&1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&0 \end{vmatrix}=0

使用同樣的方法可以證明通過 (x_3,y_3) 並與穿越 (x_1,y_1)(x_2,y_2) 的直線垂直的直線方程式為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_3&y_3&1\\ y_2-y_1&x_1-x_2&0 \end{vmatrix}=0

所求即為通過 P_3(x_3,y_3) 且斜率為 -\frac{1}{m}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1} 的直線,其點斜式為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_3&y_3&1\\ 1&-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}&0 \end{vmatrix}=\frac{1}{y_2-y_1}\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_3&y_3&1\\ y_2-y_1&x_1-x_2&0 \end{vmatrix}=0

 
重心

三角形的三條中線,即頂點和對邊的中點的連線,的交點稱為重心,記為 (G_x,G_y),見圖一。

圖一 三角形的重心 From Wikimedia

 
給定三角形頂點 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),通過 A 的中線即為連接 (x_1,y_1)(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}) 的直線,如下:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ \frac{x_2+x_3}{2}&\frac{y_2+y_3}{2}&1 \end{vmatrix}&=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_2+x_3&y_2+y_3&2 \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ x_1+x_2+x_3&y_1+y_2+y_3&3 \end{vmatrix}=0.\end{aligned}

利用對稱性,通過 B 的中線為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_2&y_2&1\\ x_1+x_2+x_3&y_1+y_2+y_3&3 \end{vmatrix}=0

若行列式有相同的兩列 (row),則行列式值為零。觀察可知二中線的交點是

\displaystyle G_x=\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3),~~~G_y=\frac{1}{3}(y_1+y_2+y_3)

 
內心

三角形內切圓的圓心稱為內心,記為 (I_x,I_y)。內心也是三角形內角平分線的交點,見圖二。

圖二 三角形的內心 From Wikimedia

 
給定三角形頂點 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),設 A,B,C 的對邊長分別為 a,b,c。通過 A 的內角平分線必定穿越 (\frac{bx_2+cx_3}{b+c},\frac{by_2+cy_3}{b+c}),即有

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ \frac{bx_2+cx_3}{b+c}&\frac{by_2+cy_3}{b+c}&1 \end{vmatrix}&=\frac{1}{b+c}\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ bx_2+cx_3&by_2+cy_3&b+c \end{vmatrix}\\ &=\frac{1}{b+c}\begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ ax_1+bx_2+cx_3&ay_1+by_2+cy_3&a+b+c \end{vmatrix}=0.\end{aligned}

利用對稱性,通過 B 的內角平分線為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_2&y_2&1\\ ax_1+bx_2+cx_3&ay_1+by_2+cy_3&a+b+c \end{vmatrix}=0

觀察可知二角平分線的交點是

\displaystyle I_x=\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},~~~I_y=\frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}

 
外心

三角形的外接圓是一個使得所有頂點都在其上的圓,外接圓的圓心稱為該三角形的外心,記為 (O_x,O_y),見圖三。

圖三 三角形的外心 From Wikimedia

 
若三角形的頂點為 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),則外接圓方程式可表示如下 (見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”):

\displaystyle \begin{vmatrix} x^2+y^2&x&y&1\\ x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1 \end{vmatrix}=0

以行列式的餘因子計算公式展開,

\displaystyle (x^2+y^2)\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}-x\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&y_3&1 \end{vmatrix}+y\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&x_1&1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&1\\ x_3^2+y_3^2&x_3&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&x_1&y_1\\ x_2^2+y_2^2&x_2&y_2\\ x_3^2+y_3^2&x_3&y_3 \end{vmatrix}

使用配方法,並套用三角形面積公式,可得

\displaystyle O_x=\frac{\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&y_3&1 \end{vmatrix}}{4\Delta},~~~O_y=\frac{\begin{vmatrix} x_1&x_1^2+y_1^2&1\\ x_2&x_2^2+y_2^2&1\\ x_3&x_3^2+y_3^2&1 \end{vmatrix}}{4\Delta}.

 
垂心

三角形的垂心為所有的垂線的交點,即通過頂點並與對邊垂直的直線的交點,記為 (H_x,H_y),見圖四。

圖四 三角形的垂心 From Wikimedia

 
給定三角形頂點 A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3),通過 A 的垂線與連接 BC 的直線垂直,如下:

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_1&y_1&1\\ y_3-y_2&x_2-x_3&0 \end{vmatrix}=0

通過頂點 B 的垂線為

\displaystyle \begin{vmatrix} x&y&1\\ x_2&y_2&1\\ y_3-y_1&x_1-x_3&0 \end{vmatrix}=0

解開上面的線性方程組,使用行列式性質化簡,並套用三角形面積公式,

\displaystyle\begin{aligned} H_x&=\frac{\begin{vmatrix} x_1x_3-x_1x_2+y_1y_3-y_1y_2&y_3-y_2\\ x_2x_3-x_1x_2+y_2y_3-y_1y_2&y_3-y_1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_3-x_2&y_3-y_2\\ x_3-x_1&y_3-y_1 \end{vmatrix}}\\ &=\frac{\begin{vmatrix} x_1x_3-x_1x_2+y_1y_3-y_1y_2&y_3-y_2&0\\ x_2x_3-x_1x_2+y_2y_3-y_1y_2&y_3-y_1&0\\ x_1x_2+y_1y_2&y_3&1 \end{vmatrix}}{-\begin{vmatrix} x_1-x_3&y_1-y_3&0\\ x_2-x_3&y_2-y_3&0\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}}\\ &=-\frac{\begin{vmatrix} x_2x_3+y_2y_3&y_1&1\\ x_3x_1+y_3y_1&y_2&1\\ x_1x_2+y_1y_2&y_3&1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}}=-\frac{\begin{vmatrix} x_2x_3+y_2y_3&y_1&1\\ x_3x_1+y_3y_1&y_2&1\\ x_1x_2+y_1y_2&y_3&1 \end{vmatrix}}{2\Delta}. \end{aligned}

使用同樣的方法可得

\displaystyle H_y=-\frac{\begin{vmatrix} x_1&x_2x_3+y_2y_3&1\\ x_2&x_3x_1+y_3y_1&1\\ x_3&x_1x_2+y_1y_2&1 \end{vmatrix}}{2\Delta}

 
歐拉 (Leonhard Euler) 證明任意三角形的重心、外心和垂心位於一條直線上,稱為歐拉線,而且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半,即

\displaystyle\begin{aligned} G_x&=\frac{2}{3}O_x+\frac{1}{3}H_x\\ G_y&=\frac{2}{3}O_y+\frac{1}{3}H_y. \end{aligned}

下面提供採用行列式的證明:

\displaystyle\begin{aligned} 2\Delta(3G_x-2O_x-H_x)&=(x_1+x_2+x_3)\begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2&y_1&1\\ x_2^2+y_2^2&y_2&1\\ x_3^2+y_3^2&y_3&1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} x_2x_3+y_2y_3&y_1&1\\ x_3x_1+y_3y_1&y_2&1\\ x_1x_2+y_1y_2&y_3&1 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_1x_2+x2x_3+x_3x_1+y_2y_3-y_1^2&y_1&1\\ x_1x_2+x2x_3+x_3x_1+y_3y_1-y_2^2&y_2&1\\ x_1x_2+x2x_3+x_3x_1+y_1y_2-y_3^2&y_3&1 \end{vmatrix}\\ &=(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\begin{vmatrix} 1&y_1&1\\ 1&y_2&1\\ 1&y_3&1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y_2y_3&y_1&1\\ y_3y_1&y_2&1\\ y_1y_2&y_3&1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y_1^2&y_1&1\\ y_2^2&y_2&1\\ y_3^2&y_3&1 \end{vmatrix}\\ &=(y_3-y_2)(y_1-y_3)(y_2-y_1)-(y_3-y_2)(y_1-y_3)(y_2-y_1)=0. \end{aligned}

按同樣方式亦可證明 2\Delta(3G_y-2O_y-H_y)=0

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6 則回應給 利用行列式推導三角形的四心座標公式

  1. Watt Lin 說道:

    很精彩的文章!
    以下這句話看來有不小心打錯一個字
    「歐拉 (Leonhard Euler) 證明任意三角形的重心、外心和重心位於一條直線上,稱為歐拉線」
    第二個「重心」應該是「垂心」吧!

  2. 說道:

    垂心的公式我看不太懂……

  3. jerry99980 說道:

    老師,那如果是空間中的三角形呢?

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