雙重對偶

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\mathcal{V} 為一個有限維向量空間。對偶空間 (dual space) \mathcal{V}^\ast 是定義於 \mathcal{V} 的所有線性泛函所形成的向量空間 (見“線性泛函與對偶空間”)。對偶空間 \mathcal{V}^\ast 同構於 (isomorphic) 向量空間 \mathcal{V},這意味 \dim \mathcal{V}^\ast=\dim \mathcal{V},具體的表現是:給定 \mathcal{V} 的任一組基底 \boldsymbol{\beta},在 \mathcal{V}^\ast 上存在唯一與之對應的對偶基底 \boldsymbol{\beta}^\ast。反過來說,對偶空間 \mathcal{V}^\ast 的任一組基底是否為 \mathcal{V} 的某一組基底的對偶基底?回答這個問題的關鍵在於引進一個新概念,名為雙重對偶 (double dual) 或第二對偶 (second dual)。顧名思義,雙重對偶就是套用兩次對偶於向量空間 \mathcal{V},即對偶空間 \mathcal{V}^\ast 的對偶空間,記為 (\mathcal{V}^\ast)^\ast\mathcal{V}^{\ast\ast}。換句話說,雙重對偶 \mathcal{V}^{\ast\ast} 是定義於 \mathcal{V} 的線性泛函形成的向量空間 \mathcal{V}^\ast 的線性泛函所構成的向量空間。本文的主題在探討向量空間 \mathcal{V} 和雙重對偶 \mathcal{V}^{\ast\ast} 之間的關係,預備知識包括線性泛函、對偶空間和對偶基底,請讀者先參閱“線性變換的轉置”的前半段。

 
何謂對偶空間的對偶空間?如何理解這個概念?聽聽莊子怎麼說。《莊子•齊物論》記載「莊周夢蝶」的故事:

昔者莊周夢為蝴蝶,栩栩然蝴蝶也,自喻適志與!不知周也。俄然覺,則蘧蘧然周也。不知周之夢為蝴蝶與,蝴蝶之夢為周與?周與蝴蝶,則必有分矣。此之謂物化。

在電影《全面啟動》(Inception,中國大陸譯《盜夢空間》),李奧納多•狄卡­皮歐 (Leonardo DiCaprio) 飾演的唐姆•考柏 (Dom Cobb) 有一句經典台詞[1]:「我們在做夢時感覺很真實,當我們醒來後才會發現事情真的很怪。」莊子夢到自己是一隻暢心快意的蝴蝶,在夢中不知自己是莊周。忽然醒來,他像貓頭鷹一樣瞪大眼睛發呆,分不清現實與夢境:究竟是莊周夢見了蝴蝶,抑或當下自己是蝴蝶夢中的莊周?莊子提出一個哲學問題:「人如何認識真實?」如果夢境足夠真實,人沒有任何能力分辨現實或夢境。笛卡爾 (René Descartes) 也認為人必須通過意識感知世界,萬物都是間接被感知,因此外部世界可能是真實的也可能是虛假的。不論身處現實或夢境,我們意識自己是主體,別的東西是客體,莊子稱之為「物」。莊子夢見了蝴蝶,莊周是主,蝴蝶是物。如果夢中的蝴蝶又夢到莊周,那麼蝴蝶是主,莊周才是物。打個粗淺的比喻,向量空間 \mathcal{V} 的對偶空間 \mathcal{V}^\ast 的對偶空間 \mathcal{V}^{\ast\ast} 如同「夢中夢」,現實世界裡的莊子之於蝴蝶夢中的莊周好比向量空間 \mathcal{V} 之於雙重對偶 \mathcal{V}^{\ast\ast}

 
為了理解雙重對偶,我們必須認識生成對偶空間的線性泛函的作為。設想向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 代表一個物理系統所處的狀態,也就是說,\mathcal{V} 是一個狀態空間。定義於 \mathcal{V} 的線性泛函 f 是一個線性量測函數,它傳回物理系統於狀態 \mathbf{x} 的某種量測值。所謂對偶空間 \mathcal{V}^\ast 即是所有的線性量測函數 (線性泛函) 形成的向量空間。舉例來說,考慮在一條直線上運動的質點,在時間 t,該質點的速度由二次多項式描述,v(t)=c_2t^2+c_1t+c_0,其中 c_2,c_1,c_0 是實數。令 \mathcal{P}_2 表示二次多項式表達的質點速度 v(t) 所在的向量空間。從時間 t_0t_1,質點移動的距離為

\displaystyle\begin{aligned}  \int_{t_0}^{t_1}v(t)dt&=\int_{t_0}^{t_1}(c_2t^2+c_1t+c_0)dt\\  &=c_2\int_{t_0}^{t_1}t^2dt+c_1\int_{t_0}^{t_1}tdt+c_0\int_{t_0}^{t_1}dt\\  &=\frac{c_2}{3}(t_1^3-t_0^3)+\frac{c_1}{2}(t_1^2-t_0^2)+c_0(t_1-t_0).  \end{aligned}

任意設定 t_0t_1 可得到一個對應的量測距離的線性泛函 (積分是線性算子),譬如,

\displaystyle\begin{aligned}  f(v(t))&=\int_0^1v(t)dt=\int_0^1(c_2t^2+c_1t+c_0)dt=\frac{1}{3}c_2+\frac{1}{2}c_1+c_0\\  g(v(t))&=\int_{-1}^1v(t)dt=\int_{-1}^1(c_2t^2+c_1t+c_0)dt=\frac{2}{3}c_2+2c_0.  \end{aligned}

將線性泛函 f 視同數組 (\frac{1}{3},\frac{1}{2},1)g 視同數組 (\frac{2}{3},0,2),推而廣之,任一定義於 \mathcal{P}_2 的線性泛函皆可用數組 (a_2,a_1,a_0) 表示,它們構造出量測 (對偶) 空間 \mathcal{P}_2^\ast。透過基底 \boldsymbol{\beta} 和對偶基底 \boldsymbol{\beta}^\ast,狀態空間 \mathcal{P}_2 和量測空間 \mathcal{P}_2^\ast 的所有成員具有一對一的對應關係 (即同構)。隨意選擇狀態空間 \mathcal{P}_2 的一組基底 \boldsymbol{\beta}=\{v_1,v_2,v_3\},其中

\displaystyle\begin{aligned}  v_1(t)&=t^2-1\\  v_2(t)&=t+1\\  v_3(t)&=t^2+2t+2.  \end{aligned}

\boldsymbol{\beta}^\ast=\{f_1,f_2,f_3\} 表示 \boldsymbol{\beta} 的對偶基底,滿足 f_i(v_j(t))=\delta_{ij}1\le i,j\le 3,其中 \delta_{ij} 是單位矩陣 I_3(i,j) 元。當 i=1f_1 滿足

\displaystyle\begin{aligned}  1&=f_1(v_1(t))=f_1(t^2-1)=f_1(t^2)-f_1(1)\\  0&=f_1(v_2(t))=f_1(t+1)=f_1(t)+f_1(1)\\  0&=f_1(v_3(t))=f_1(t^2+2t+2)=f_1(t^2)+2f_1(t)+2f_1(1).  \end{aligned}

解出線性方程組,f_1(t^2)=0f_1(t)=1f_1(1)=-1,故

\displaystyle   f_1(c_2t^2+c_1t+c_0)=c_1-c_0

使用同樣方式,可得

\displaystyle\begin{aligned}  f_2(c_2t^2+c_1t+c_0)&=-2c_2+3c_1-2c_0\\  f_3(c_2t^2+c_1t+c_0)&=c_2-c_1+c_0.\end{aligned}

對於任一質點狀態 v(t)\in\mathcal{P}_2,譬如,v(t)=3t^2+t-1,寫出線性組合表達 v(t)=2v_1(t)-v_2(t)+v_3(t)。我們可以令 v(t) 對應 f=2f_1-f_2+f_3,即 f(c_2t^2+c_1t+c_0)=3c_2-2c_1+c_0。除了在參考各自基底 \boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^\ast,質點狀態 v(t) 與其對應的量測函數 f 擁有相同的組合係數,兩者並不存在意義清晰的物理相關性。既然量測空間 \mathcal{P}_2^\ast 是一個向量空間,理論上,我們可以建立量測函數來量測 f\in\mathcal{P}_2^\ast,從而得到雙重對偶 \mathcal{P}_2^{\ast\ast},不過,這要如何實現呢?

 
在《全面啟動》中,男主角考柏與化學家尤瑟夫 (Yusuf) 有一段對話[2]

尤瑟夫:「夢中夢」?兩層?
考柏:三層。
尤瑟夫:不可能,「夢中夢」太不穩定了。
考柏:可能的,你只要加入鎮靜劑。
尤瑟夫:不……一種強力的鎮靜劑。

為了區分現實世界的莊子和蝴蝶夢中的莊周,以下用小寫粗體英文字母表示向量空間 \mathcal{V} 的成員,小寫希臘字母表示對偶空間 \mathcal{V}^{\ast\ast} 的成員。給定任一 \mathbf{v}\in\mathcal{V},我們可以嘗試建構與之對應的 \phi_\mathbf{v}\in\mathcal{V}^{\ast\ast},這就是穩定「夢中夢」的鎮靜劑。請注意,\phi_{\mathbf{v}} 是一個線性泛函,吃進定義於 \mathcal{V} 上的線性泛函 f\in\mathcal{V}^\ast 並傳回一個純量。最簡單並且最具威力的鎮靜劑處方是

\displaystyle  \phi_\mathbf{v}(f)=f(\mathbf{v})

其中 f\mathcal{V}^\ast 中任意的線性泛函。下面驗證 \phi_{\mathbf{v}}:\mathcal{V}^\ast\to\mathbb{C} 是一個線性泛函:對於 f,g\in\mathcal{V}^\ast 和純量 c

\displaystyle\begin{aligned}  \phi_{\mathbf{v}}(f+g)&=(f+g)(\mathbf{v})=f(\mathbf{v})+g(\mathbf{v})=\phi_{\mathbf{v}}(f)+\phi_{\mathbf{v}}(g)\\  \phi_{\mathbf{v}}(cf)&=(cf)(\mathbf{v})=cf(\mathbf{v})=c\phi_{\mathbf{v}}(f).  \end{aligned}

\mathcal{V} 為有限維向量空間且 \mathbf{v}\neq\mathbf{0},則 \phi_{\mathbf{v}}\neq 0 (零函數),也就是說,存在 f\in\mathcal{V}^\ast 使得 f(\mathbf{v})\neq 0。反向陳述同樣成立。證明於下:考慮 \mathcal{V} 的一組基底 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\},其中 \mathbf{v}_1=\mathbf{v},定義線性泛函 f 傳回 \mathbf{v} 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的座標向量 \begin{bmatrix}  \mathbf{v}  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 的第一個元,故 \phi_{\mathbf{v}}(f)=f(\mathbf{v})=1。通過映射 \mathbf{v}\mapsto\phi_{\mathbf{v}},下面的定理申明 \mathcal{V} 同構於 \mathcal{V}^{\ast\ast} (見“同構的向量空間”)。

 
雙重對偶同構定理:令 \mathcal{V} 為有限維向量空間。對於 \mathbf{v}\in\mathcal{V},定義 \phi_{\mathbf{v}}(f)=f(\mathbf{v}),其中 f\in\mathcal{V}^{\ast},則 L:\mathbf{v}\mapsto\phi_{\mathbf{v}} 是一個從 \mathcal{V}\mathcal{V}^{\ast\ast} 的同構映射 (isomorphism)。

證明包含三個部分:
(1) L 是一個從 \mathcal{V}\mathcal{V}^{\ast\ast} 的線性變換,即 \phi_{\mathbf{v}}\mathbf{v} 的線性函數。假設 \mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathcal{V}c 為純量,

\displaystyle\begin{aligned}  \phi_{\mathbf{v}+\mathbf{w}}(f)&=f(\mathbf{v}+\mathbf{w})=f(\mathbf{v})+f(\mathbf{w})=\phi_{\mathbf{v}}(f)+\phi_{\mathbf{w}}(f)\\  \phi_{c\mathbf{v}}(f)&=f(c\mathbf{v})=cf(\mathbf{v})=c\phi_{\mathbf{v}}(f),  \end{aligned}

\phi_{\mathbf{v}+\mathbf{w}}=\phi_{\mathbf{v}}+\phi_\mathbf{w}\phi_{c\mathbf{v}}=c\phi_\mathbf{v}
(2) L 是一對一。前面曾經解釋 \mathbf{v}=\mathbf{0} 等價於 \phi_{\mathbf{v}}=0,即知 L 的核 (kernel,或稱零空間) 僅包含零向量。
(3) L 是滿射 (onto)。因為 \dim\mathcal{V}^{\ast\ast}=\dim\mathcal{V}^\ast=\dim\mathcal{V},根據秩─零度定理,L 的值域 (range) 的維數等於

\displaystyle  \dim\text{ran}(L)=\dim \mathcal{V}-\dim \ker(L)=\dim\mathcal{V}^{\ast\ast}

 
現在我們可以回答本文初提出的問題:給定 \mathcal{V}^\ast 的任一組基底 \boldsymbol{\beta}^\ast,此基底是否為 \mathcal{V} 的某一組基底 \boldsymbol{\beta} 的對偶基底?答案是肯定的。令 \boldsymbol{\beta}^\ast=\{f_1,\ldots,f_n\}\mathcal{V}^\ast 的一組基底。我們可以求出 \boldsymbol{\beta}^\ast\mathcal{V}^{\ast\ast} 上的唯一對偶基底 \{\phi_1,\ldots,\phi_n\} 使得 \phi_i(f_j)=\delta_{ij}1\le i,j\le n。雙重對偶同構定理表明 L:\mathbf{v}\mapsto \phi_{\mathbf{v}} 是一個同構映射,故對於每一 i,存在唯一一個向量 \mathbf{v}_i\in\mathcal{V} 使得每一 f\in\mathcal{V}^\ast 滿足 \phi_i(f)=f(\mathbf{v}_i),亦即 \phi_i=\phi_{\mathbf{v}_i}。同構關係 \mathbf{v}_i\rightleftharpoons\phi_{\mathbf{v}_i} 保線性獨立性,可知 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\mathcal{V} 的一組基底,而且 \boldsymbol{\beta}^\ast 為其對偶基底,原因是 f_j(\mathbf{v}_i)=\phi_i(f_j)=\delta_{ji}。由於 \mathbf{v}_i\phi_{\mathbf{v}_i} 之間具有自然的對應 (natural correspondence),我們說 \mathcal{V} 自然同構於 \mathcal{V}^{\ast\ast},數學家稱之為自反性 (reflexivity)。在不造成混淆的情況下,有些人甚至直接說「\mathcal{V}\mathcal{V}^\ast 的對偶空間」。自反性在「莊周夢蝶」的意象為:莊子「即是」夢中蝴蝶所夢見的莊周。

 
沿用前面的例子,考慮量測空間 \mathcal{P}_2^\ast 的一組基底 \boldsymbol{\beta}^\ast=\{f_1,f_2,f_3\},對於質點狀態 v(t)=c_2t^2+c_1t+c_0\in\mathcal{P}_2

\displaystyle\begin{aligned}  f_1(v(t))&=c_1-c_0\\  f_2(v(t))&=-2c_2+3c_1-2c_0\\  f_3(v(t))&=c_2-c_1+c_0.\end{aligned}

\{\phi_1,\phi_2,\phi_3\}\boldsymbol{\beta}^\ast 的對偶基底,滿足 \phi_i(f_j)=\delta_{ij}1\le i,j\le 3。當 i=1,設 \phi_1=\phi_{v_1},則

\displaystyle\begin{aligned}  1&=\phi_1(f_1)=f_1(v_1(t))=c_1-c_0\\  0&=\phi_1(f_2)=f_2(v_1(t))=-2c_2+3c_1-2c_0\\  0&=\phi_1(f_3)=f_3(v_1(t))=c_2-c_1+c_0,  \end{aligned}

解出 c_2=1c_1=0c_0=-1,因此 v_1(t)=t^2-1。套用相同的作法,可得 v_2(t)=t+1v_3(t)=t^2+2t+2。與前面的計算結果比較,確認 \boldsymbol{\beta}^\ast 正是狀態空間 \mathcal{P}_2 上的基底 \boldsymbol{\beta}=\{v_1,v_2,v_3\} 的對偶基底。究竟雙重對偶 \mathcal{P}_2^{\ast\ast} 的基底 \{\phi_1,\phi_2,\phi_3\} 該如何表示?若 v(t)=c_2t^2+c_1t+c_0\in\mathcal{P}_2,對於任一 f\in\mathcal{P}_2^{\ast},設

\displaystyle  f(v(t))=f(c_2t^2+c_1t+c_0)=a_2c_2+a_1c_1+a_0c_0

\displaystyle\begin{aligned}  \phi_1(f)&=\phi_{v_1}(f)=f(v_1(t))=a_2-a_0\\  \phi_2(f)&=\phi_{v_2}(f)=f(v_2(t))=a_1+a_0\\  \phi_3(f)&=\phi_{v_3}(f)=f(v_3(t))=a_2+2a_1+2a_0.  \end{aligned}

若將 \{\phi_1,\phi_2,\phi_3\} 視同數組集 \{(1,0,-1), (0,1,1), (1,2,2)\},則完全對應 \{v_1,v_2,v_3\} 的二次多項式係數,這個表達方式清楚明白地顯示 \mathcal{P}_2^{\ast\ast} 自然同構於 \mathcal{P}_2

 
《全面啟動》影片中最多展現了四層夢境。假設莊子的夢境有三層,即莊子夢見蝴蝶,夢中的蝴蝶夢到莊周,夢中的莊周又再夢見蝴蝶。類似地,向量空間 \mathcal{V} 的對偶空間是 \mathcal{V}^\ast,其對偶空間是雙重對偶 \mathcal{V}^{\ast\ast},再下一層的對偶空間稱作第三對偶,記為 \mathcal{V}^{\ast\ast\ast}。通過注射強力的鎮靜劑,向量空間 \mathcal{V} 自然同構於雙重對偶 \mathcal{V}^{\ast\ast},對偶空間 \mathcal{V}^{\ast} 也自然同構於第三對偶 \mathcal{V}^{\ast\ast\ast}。按照這個邏輯,由於每一個向量空間都是真實的,我們無從分辨眼前的向量空間 \mathcal{V} 是否為上一層向量空間的對偶空間,或是更上一層與 \mathcal{V} 自然同構的向量空間的雙重對偶。

 
註解
[1] 原文是 “Dreams feel real while we’re in them. It’s only when we wake up that we realize something was actually strange.”
[2] 原文是
Yusuf: A dream within a dream? Two levels?
Cobb: Three.
Yusuf: Not possible. That many dreams within dreams is too unstable.
Cobb: It is possible. You just have to add a sedative.
Yusuf: No…a powerful sedative.

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