每週問題 April 14, 2014

這是關於對偶基底的問題。

The vectors \mathbf{v}_1=(1,1,1), \mathbf{v}_2=(1,1,-1), and \mathbf{v}_3=(1,-1-1) form a basis of \mathbb{C}^3. If \{f_1,f_2,f_3\} is the dual basis, and if \mathbf{x}=(0,1,0), find f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}), and f_3(\mathbf{x}).

 
參考解答:

對偶基底向量滿足 f_i(\mathbf{v}_j)=\delta_{ij}1\le i,j\le 3。令 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 表示 \mathbb{C}^3 的標準單位向量。當 i=1

\displaystyle\begin{aligned}  1&=f_1(\mathbf{v}_1)=f_1(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)=f_1(\mathbf{e}_1)+f_1(\mathbf{e}_2)+f_1(\mathbf{e}_3)\\  0&=f_1(\mathbf{v}_2)=f_1(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3)=f_1(\mathbf{e}_1)+f_1(\mathbf{e}_2)-f_1(\mathbf{e}_3)\\  0&=f_1(\mathbf{v}_3)=f_1(\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_3)=f_1(\mathbf{e}_1)-f_1(\mathbf{e}_2)-f_1(\mathbf{e}_3),  \end{aligned}

解得 f_1(\mathbf{e}_1)=\frac{1}{2}f_1(\mathbf{e}_2)=0f_1(\mathbf{e}_3)=\frac{1}{2},故

\displaystyle  f_1(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1}{2}+\frac{x_3}{2}

重複上述步驟可得

\displaystyle\begin{aligned}  f_2(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_2}{2}-\frac{x_3}{2}\\  f_3(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1}{2}-\frac{x_2}{2}.  \end{aligned}

代入 \mathbf{x}=(0,1,0),立得 f_1(\mathbf{x})=0f_2(\mathbf{x})=\frac{1}{2}f_3(\mathbf{x})=-\frac{1}{2}

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