四元數

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四元數 (quaternion) 是愛爾蘭數學家哈密頓 (William Rowan Hamilton) 於1843年提出的數學概念。任一複數 z 可表示為實數與虛數之和,z=a+bi,其中 a,b 是實數,i=\sqrt{-1} 是虛數單位。哈密頓明白複數可視為平面上的一個點,他一心想將這個概念延伸至三維空間。在三維空間中,每一個點可由其座標表示,即 3 個有序數 (a,b,c)。哈密頓知曉這些點的加法與減法運算,但一直想不透該如何計算乘法與除法。1843年10月16日,哈密頓與夫人在前往都柏林愛爾蘭皇家學會主持會議的途中,沿著皇家運河 (Royal Canal) 旁的小徑散步經過 Brougham (又名 Broom) 橋,突然靈光乍現腦中冒出四元數的基本公式[1]。今天在 Brougham 橋西北方下側安置了一塊石頭牌匾記載這段往事 (刻文見[2])。哈密頓定義的四元數是一個實數加上三個虛部,如下:

\displaystyle  q=a+bi+cj+dk

其中 a,b,c,d 是實數,虛數單位 i,j,k 滿足下列基本公式:

\displaystyle  i^2=j^2=k^2=ijk=-1

William Rowan Hamilton (1805-1865) From Wikimedia

 
每一個四元數是單位元素 1,i,j,k 的線性組合,四元數的加法令各別單位相加,如同我們熟悉的幾何向量加法:

\displaystyle\begin{aligned}  &(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\\  &~~=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k.\end{aligned}

利用哈密頓提出的單位元素乘法基本公式可導出 i,j,k 的乘積。例如,-1=ijk 右乘 k,可得 -k=ijk^2=ij(-1)=-ij,即 ij=k。另外,-1=ijk 左乘 i,可得 -i=i^2jk=-jk,即 i=jk,再左乘 j,推得 ji=j^2k=-k。使用類似的方法可推演出完整的乘法表:

\displaystyle  \begin{array}{cccrrr}  \cdot&\vline&1&i&j&k\\\hline  1&\vline&1&i&j&k\\  i&\vline&i&-1&k&-j\\  j&\vline&j&-k&-1&i\\  k&\vline&k&j&-i&-1  \end{array}

四元數與複數 (包含實數) 乘法的最大差異在於四元數乘法不滿足交換律,譬如,ij=k,但 ji=-k。四元數不是一個體 (或稱域,field),它是不可交換環,代數術語稱之為除環 (division ring),我們說一個環是除環若所有的非零元素都存在一逆元。根據上表,利用分配律可導出四元數的乘法運算規則:

\displaystyle\begin{aligned}  &(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\\  &~~=a_1a_2+a_1b_2i+a_1c_2j+a_1d_2k+b_1a_2i+b_1b_2i^2+b_1c_2ij+b_1d_2ik\\  &~~~~+c_1a_2+c_1b_2ji+c_1c_2j^2+c_1d_2jk+d_1a_2+d_1b_2ki+d_1c_2kj+d_1d_2k^2\\  &~~=(a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2)+(a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2)i\\  &~~~~+(a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2)j+(a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2)k.  \end{aligned}

純量和四元數的乘法運算類似純量和向量的乘法運算。對於實數 \alpha

\displaystyle  \alpha(a+bi+cj+dk)=\alpha a+\alpha bi+\alpha cj+\alpha dk

四元數的加法運算和純量乘法運算滿足向量空間的8個公理 (見“同構的向量空間”),因此四元數所形成的集合,記為

\displaystyle  \mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk\vert a,b,c,d\in\mathbb{R},i^2=j^2=k^2=ijk=-1\}

可以視作一個定義於實數的四維向量空間,其基底為 \{1,i,j,k\}。這個性質提示我們四元數與矩陣之間存在某種關係。

 
類似複數的共軛、絕對值 (norm) 以及逆元,四元數也有型態相仿的定義。若 q=a+bi+cj+dk,共軛四元數定義為 {q}^\ast=a-bi-cj-dk。稍後將證明 (q^\ast)^\ast=q{q}^\ast q=q{q}^\ast。四元數的絕對值定義為

\displaystyle   \vert q\vert=\sqrt{q{q}^\ast}=\sqrt{q^\ast q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}

對於 q_1,q_2\in\mathbb{H}(q_1q_2)^\ast=q_2^\ast q_1^\ast (稍後證明),且

\displaystyle\begin{aligned}  \vert q_1q_2\vert^2&=(q_1q_2)(q_1q_2)^\ast=q_1q_2q_2^\ast q_1^\ast\\  &=q_1\vert q_2\vert^2 q_1^\ast=q_1q_1^\ast\vert q_2\vert^2\\  &=\vert q_1\vert^2\vert q_2\vert^2,\end{aligned}

\vert q_1q_2\vert=\vert q_1\vert~\vert q_2\vert。若 q\neq 0,則逆元定義為

\displaystyle   q^{-1}=\frac{q^\ast}{\vert q\vert^2}

很容易驗證 q^{-1}q=qq^{-1}=1。若 q 是一單位四元數,即 \vert q\vert=1,則 q^{-1}=q^\ast

 
純量─向量和表示

\mathbb{R}^3 的標準單位向量為 \mathbf{i}=(1,0,0)\mathbf{j}=(0,1,0)\mathbf{k}=(0,0,1)。四元數 q=a+bi+cj+dk 也可以表示為純量─向量和 q=a+\mathbf{v},其中 a\in\mathbb{R}\mathbf{v}=b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}\in\mathbb{R}^3,並定義標準單位向量乘法規則 \mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}=-1。純量與向量相加可能讓很多人感到困惑,讀者不妨把 a+\mathbf{v} 看成一個僅有實部 (向量為零) 的四元數與另一個僅含虛部 (純量為零) 的四元數之和,即

\displaystyle  a+\mathbf{v}=(a+\mathbf{0})+(0+\mathbf{v})

純量與向量相加其實是兩個四元數相加。同樣道理,所謂的「向量乘法」不過就是四元數的乘法,例如,\mathbf{i}\mathbf{j}=(0+\mathbf{i})(0+\mathbf{j})。對於 q_1=a_1+\mathbf{v}_1q_2=a_2+\mathbf{v}_2,四元數加法分別計算純量與向量加法:

\displaystyle  q_1+q_2=(a_1+\mathbf{v}_1)+(a_2+\mathbf{v}_2)=(a_1+a_2)+(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)

乘法運算則為 (請讀者自行驗證)

\displaystyle  q_1q_2=(a_1+\mathbf{v}_1)(a_2+\mathbf{v}_2)=(a_1a_2-\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)+(a_1\mathbf{v}_2+a_2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2)

其中 \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 是向量點積 (dot product),\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2 是向量外積 (cross product)。以純量─向量和表示的四元數 q=a+\mathbf{v} 的共軛、絕對值和逆元分別如下:

\displaystyle  q^\ast=a-\mathbf{v},~~\vert q\vert=\sqrt{a^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}},~~q^{-1}=\frac{q^\ast}{\vert q\vert^2}=\frac{a-\mathbf{v}}{a^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}

所以,

\displaystyle  (q^\ast)^\ast=a-(-\mathbf{v}))=a+\mathbf{v}=q

\displaystyle\begin{aligned}  {q}^\ast q&=(a-\mathbf{v})(a+\mathbf{v})\\  &=aa-(-\mathbf{v})\cdot\mathbf{v}+a\mathbf{v}+a(-\mathbf{v})+(-\mathbf{v})\times\mathbf{v}\\  &=a^2+\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\\  &=a^2+b^2+c^2+d^2\\  &=(a+\mathbf{v})(a-\mathbf{v})\\  &=qq^\ast,  \end{aligned}

而且

\displaystyle\begin{aligned}  q_2^\ast q_1^\ast&=(a_2-\mathbf{v}_2)(a_1-\mathbf{v}_1)\\  &=a_2a_1-(-\mathbf{v}_2)\cdot(-\mathbf{v}_1)+a_2(-\mathbf{v}_1)+a_1(-\mathbf{v}_2)+(-\mathbf{v}_2)\times(-\mathbf{v}_1)\\  &=(a_1a_2-\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2)-(a_1\mathbf{v}_2+a_2\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2)\\  &=(q_1q_2)^\ast.  \end{aligned}

 
複數可以用二階實矩陣表示 (見“複數的矩陣表示”),類似地,四元數也可以用二階複矩陣或四階實矩陣表示並以矩陣實現對等運算。這裡先聲明,四元數的矩陣表示不具有經濟效益,原因在於不論二階複矩陣或四階實矩陣皆會引入冗餘的儲存元並且耗用多餘的計算。

 
二階複矩陣表示

四元數的單位元素 1,i,j,k 分別可用二階複矩陣 U, I, J, K 表示,定義如下:

\displaystyle  U=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix},~~  I=\left[\!\!\begin{array}{cr}  i&0\\  0&-i  \end{array}\!\!\right],~~  J=\left[\!\!\begin{array}{rc}  0&1\\  -1&0  \end{array}\!\!\right],~~  K=\begin{bmatrix}  0&i\\  i&0  \end{bmatrix}

其中 i=\sqrt{-1}。請特別注意,為了與四元數的傳統符號一致,上面我們用 U 而非 I 代表單位矩陣。不難確認 \{U,I,J,K\} 是一線性獨立集,並滿足同樣形式的基本公式:

\displaystyle  I^2=J^2=K^2=IJK=-U

不難證明二階複矩陣 U,I,J,K 的乘法運算滿足下表:

\displaystyle  \begin{array}{cccrrr}  \cdot&\vline&U&I&J&K\\\hline  U&\vline&U&I&J&K\\  I&\vline&I&-U&K&-J\\  J&\vline&J&-K&-U&I\\  K&\vline&K&J&-I&-U  \end{array}

 
每一四元數 q=a+bi+cj+dk 可唯一表示為 U, I, J, K 的線性組合:

\displaystyle\begin{aligned}  Q&=aU+bI+cJ+dK\\  &=a\begin{bmatrix}  1&0\\  0&1  \end{bmatrix}+b\left[\!\!\begin{array}{cr}  i&0\\  0&-i  \end{array}\!\!\right]+c\left[\!\!\begin{array}{rc}  0&1\\  -1&0  \end{array}\!\!\right]+d\begin{bmatrix}  0&i\\  i&0  \end{bmatrix}\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a+bi&c+di\\  -c+di&a-bi  \end{array}\!\!\right].  \end{aligned}

\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) 代表 2\times 2 階複矩陣形成的向量空間。令 L:\mathbb{H}\to\mathcal{M}_2(\mathbb{C}) 為一線性變換使得

\displaystyle  L(q)=L(a+bi+cj+dk)=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a+bi&c+di\\  -c+di&a-bi  \end{array}\!\!\right]

線性變換 L 的值域 \text{ran}(L)\{U,I,J,K\} 生成,也就是說,\text{rank}L=\dim\text{ran}(L)=4。根據秩─零度定理,\dim\ker(L)=\dim\mathbb{H}-\text{rank}L=0,故 L 是一對一映射。我們稱把 q=a+bi+cj+dk 映射至二階複矩陣 L(q)=aU+bI+cJ+dK 的線性變換 L 為同態 (homomorphism),因為 L 維持 q\in\mathbb{H}L(q)\in\text{ran}(L) 的結構不變。

 
四元數的加法和乘法運算即為所對應的二階複矩陣的加法和乘法運算。令 q_1=a_1+b_1i+c_1j+d_1kq_2=a_2+b_2i+c_2j+d_2k。因為 L 是一線性變換,

\displaystyle  L(q_1+q_2)=L(q_1)+L(q_2)=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a_1+b_1i&c_1+d_1i\\  -c_1+d_1i&a_1-b_1i  \end{array}\!\!\right]+\left[\!\!\begin{array}{rc}  a_2+b_2i&c_2+d_2i\\  -c_2+d_2i&a_2-b_2i  \end{array}\!\!\right]

將四元數積 q_1q_2 的表達式代入 L,並乘開矩陣積 L(q_1)L(q_2),比較兩式可證明

\displaystyle  L(q_1q_2)=L(q_1)L(q_2)=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a_1+b_1i&c_1+d_1i\\  -c_1+d_1i&a_1-b_1i  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rc}  a_2+b_2i&c_2+d_2i\\  -c_2+d_2i&a_2-b_2i  \end{array}\!\!\right]

共軛四元數的對應矩陣即為四元數表達矩陣的共軛轉置:

\displaystyle\begin{aligned}  L(q^\ast)&=L(a-bi-cj-dk)=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a-bi&-c-di\\  c-di&a+bi  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a+bi&c+di\\  -c+di&a-bi  \end{array}\!\!\right]^\ast=[L(q)]^\ast.\end{aligned}

絕對值等於表達矩陣的行列式平方根:

\displaystyle\begin{aligned}  \sqrt{\det(L(q))}&=\left|\!\!\begin{array}{rc}  a+bi&c+di\\  -c+di&a-bi  \end{array}\!\!\right|^{1/2}\\  &=\sqrt{(a+bi)(a-bi)+(c+di)(c-di)}\\  &=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=\vert q\vert.\end{aligned}

四元數 q\neq 0 的逆元的對應矩陣為 L(q) 的逆矩陣:

\displaystyle\begin{aligned}  L(q^{-1})&=L\left(\frac{q^\ast}{\vert q\vert^2}\right)=\frac{1}{\vert q\vert^2}L(q^\ast)\\  &=\frac{1}{\det(L(q))}\left[\!\!\begin{array}{rc}  a-bi&-c-di\\  c-di&a+bi  \end{array}\!\!\right]\\  &=\left[\!\!\begin{array}{rc}  a+bi&c+di\\  -c+di&a-bi  \end{array}\!\!\right]^{-1}=[L(q)]^{-1}.\end{aligned}

下面整理了四元數 q 與其二階複矩陣表示 Q=L(q) 的對應運算:

\displaystyle  \begin{array}{ccc}  q&&Q\\\hline  q_1+q_2&&Q_1+Q_2\\  q_1q_2&&Q_1Q_2\\  q^\ast&&Q^\ast\\  \vert q\vert&&\sqrt{\det Q}\\  q^{-1}&&Q^{-1}\\\hline  \end{array}

 
四階實矩陣表示

四元數的單位元素 1,i,j,k 可以用四階實矩陣 U, I, J, K 表示如下:

\displaystyle\begin{aligned}  U&=\begin{bmatrix}  1&0&0&0\\  0&1&0&0\\  0&0&1&0\\  0&0&0&1  \end{bmatrix},~  I=\left[\!\!\begin{array}{rccr}  0&1&0&0\\  -1&0&0&0\\  0&0&0&-1\\  0&0&1&0  \end{array}\!\!\right],\\  J&=\left[\!\!\begin{array}{rrcc}  0&0&1&0\\  0&0&0&1\\  -1&0&0&0\\  0&-1&0&0  \end{array}\!\!\right],~  K=\left[\!\!\begin{array}{rcrc}  0&0&0&1\\  0&0&-1&0\\  0&1&0&0\\  -1&0&0&0  \end{array}\!\!\right].\end{aligned}

如同二階複矩陣,上面以 U 代表單位矩陣。同樣地,\displaystyle  I^2=J^2=K^2=IJK=-U,故滿足前述乘法表。每一四元數 q=a+bi+cj+dk 可表示為 U, I, J, K 的線性組合:

\displaystyle  Q=aU+bI+cJ+dK=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  a&b&c&d\\  -b&a&-d&c\\  -c&d&a&-b\\  -d&-c&b&a  \end{array}\!\!\right]

\mathcal{M}_4(\mathbb{R}) 代表 4\times 4 階實矩陣形成的向量空間。令 L:\mathbb{H}\to\mathcal{M}_4(\mathbb{R}) 為一線性變換使得

\displaystyle  L(q)=L(a+bi+cj+dk)=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  a&b&c&d\\  -b&a&-d&c\\  -c&d&a&-b\\  -d&-c&b&a  \end{array}\!\!\right]

如同二階複矩陣,線性變換 L 的值域 \text{ran}(L)\{U,I,J,K\} 生成,\text{rank}L=4\dim\ker L=\dim\mathbb{H}-\text{rank}L=0,故 L 是一對一映射。四元數的加法和乘法運算即為所對應的四階實矩陣的加法和乘法運算。共軛四元數的對應四階實矩陣為四元數表達矩陣的轉置:

\displaystyle  L(q^\ast)=aU-bI-cJ-dK=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  a&-b&-c&-d\\  b&a&d&-c\\  c&-d&a&b\\  d&c&b&a  \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  a&b&c&d\\  -b&a&-d&c\\  -c&d&a&-b\\  -d&-c&b&a  \end{array}\!\!\right]^T.

直接展開計算可證明四元數的絕對值等於表達矩陣的行列式的四次方根:

\displaystyle  \sqrt[4]{\det(L(q))}=\left|\!\!\begin{array}{rrrr}  a&b&c&d\\  -b&a&-d&c\\  -c&d&a&-b\\  -d&-c&b&a  \end{array}\!\!\right|^{1/4}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=\vert q\vert

四元數 q\neq 0 的逆元的對應矩陣 L(q^{-1}) 即為 [L(q)]^{-1}。最後整理出四元數 q 與其四階實矩陣表示 Q=L(q) 的對應運算:

\displaystyle  \begin{array}{ccc}  q&&Q\\\hline  q_1+q_2&&Q_1+Q_2\\  q_1q_2&&Q_1Q_2\\  q^\ast &&Q^T\\  \vert q\vert&&\sqrt[4]{\det Q}\\  q^{-1}&&Q^{-1}\\\hline  \end{array}

 
哈密頓發現了四元數後,他將餘生精力投注於相關研究,相信有朝一日四元數將與微積分一樣成為數學物理不可或缺的工具。不過事實並非如此,除了在代數領域佔有一席之地 (四元數是首次出現的不可交換代數),四元數僅應用於光學和力學領域。現今四元數的最主要一個用途在於表達三維空間的旋轉,他日將介紹這個主題。

 
註解
[1] 維基百科:History of quaternions
[2] Brougham 橋石牌刻文為
Here as he walked by
on the 16th of October 1843
Sir William Rowan Hamilton
in a flash of genius discovered
the fundamental formula for
quaternion multiplication
i² = j² = k² = ijk = −1
& cut it on a stone of this bridge.

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5 則回應給 四元數

  1. Ting Wei Chang 說道:

    請問一下"乘法運算則為 (請讀者自行驗證)"下面的公式後面的V1 x V2是怎麼算出來的??

  2. ccjou 說道:

    q_1=a_1+\mathbf{v}_1=a_1+b_1\mathbf{i}+c_1\mathbf{j}+d_1\mathbf{k}q_2=a_2+\mathbf{v}_2=a_2+b_2\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+d_2\mathbf{k},直接計算 q_1q_2,並使用 \mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}=-1 化簡。另外,前面提到“利用分配律可導出四元數的乘法運算規則”,將該結果改用內積和外積表達即可。

  3. 朱育慶 說道:

    q1=a1+v1 ; q2=a2+v2
    q1q2=(a1+v1)(a2+v2)
    =(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2)i+
    (a1c2-b1d2+c1a2+d1b2)j+(a1d2+b1c2-c1b2+d1a2)k

    b1b2+c1c2+d1d2=v1 ‧ v2
    a1(b2+c2+d2)=a1v2
    a2(b1+c1+d1)=a2v1
    (c1d2-d1c2)i+(-b1d2+d1b2)j+(b1c2-c1d2)k=v1 X v2

    q1q2=(a1a2-v1v2)+(a1v2+a2v1+v1 X v2)

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