每週問題 April 21, 2014

這是關於微分算子的矩陣表示以及特徵值問題。

Let D be the differential operator on \mathcal{P}_n over \mathbb{R} defined as follows: If p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in\mathcal{P}_n, then

\displaystyle  D(p(x))=a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}.

(a) Find the matrix representation of D under the basis \boldsymbol{\beta}=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\}.
(b) Find the eigenvalues of D.

 
(a) 根據線性變換表示矩陣的定義,

\displaystyle\begin{aligned}  \begin{bmatrix}  D\end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&=\begin{bmatrix}  [D(1)]_{\boldsymbol{\beta}}&[D(x)]_{\boldsymbol{\beta}}&[D(x^2)]_{\boldsymbol{\beta}}&\cdots&[D(x^n)]_{\boldsymbol{\beta}}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  \mathbf{0}&\mathbf{e}_1&2\mathbf{e}_2&\cdots&n\mathbf{e}_n  \end{bmatrix},  \end{aligned}

其中 \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots,\mathbf{e}_{n+1}\mathbb{R}^{n+1} 的標準單位向量。例如,當 n=3

\displaystyle  \begin{bmatrix}  D  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix}  0&1&0&0\\  0&0&2&0\\  0&0&0&3\\  0&0&0&0  \end{bmatrix}

(b) 因為 \begin{bmatrix}  D  \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} 是上三角矩陣,主對角元即為其特徵值,故 D 的特徵值全部為零。

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