每週問題 April 28, 2014

這是計算簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。

Let

\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{rcr}  1&1&2\\  1&2&1\\  -1&1&-1  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  0&0&0\\  0&3&0\\  0&0&5  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rcr}  1&1&2\\  1&2&1\\  -1&1&-1  \end{array}\!\!\right]^{-1}.

Determine the reduced row echelon form of A.

 
參考解答:

表面上,我們可以算出逆矩陣並乘開矩陣積得到 A,從而求出簡約列梯形式。不過仔細觀察發現 A 具備對角化形式,故知 A 有一特徵值 0,對應的特徵向量為 (1,1,-1)^T,換句話說,A 的零空間 (nullspace) 由 (1,1,-1)^T 生成。因為 A 的列空間 (row space) 是零空間的正交補餘 (orthogonal complement),可知 \begin{bmatrix}  1&1&-1  \end{bmatrix} 的零空間即為 A 的列空間,其基底為

\displaystyle  \left\{\left[\!\!\begin{array}{r}  -1\\  1\\  0  \end{array}\!\!\right],\left[\!\!\begin{array}{c}  1\\  0\\  1  \end{array}\!\!\right]\right\}

所以,A 列等價於

\displaystyle  B=\left[\!\!\begin{array}{rcc}  -1&1&0\\  1&0&1\\  0&0&0  \end{array}\!\!\right]

意思是存在一可逆矩陣 E 使得 B=EA。列等價矩陣有相同的簡約列梯形式,立知 A 的簡約列梯形式即為 B 的簡約列梯形式

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{ccc}  1&0&1\\  0&1&1\\  0&0&0  \end{array}\!\!\right]

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