這是計算簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。
Let
![\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{rcr} 1&1&2\\ 1&2&1\\ -1&1&-1 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&5 \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{rcr} 1&1&2\\ 1&2&1\\ -1&1&-1 \end{array}\!\!\right]^{-1}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++A%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcr%7D++1%261%262%5C%5C++1%262%261%5C%5C++-1%261%26-1++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D++0%260%260%5C%5C++0%263%260%5C%5C++0%260%265++%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcr%7D++1%261%262%5C%5C++1%262%261%5C%5C++-1%261%26-1++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%5E%7B-1%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
Determine the reduced row echelon form of 
參考解答：
表面上，我們可以算出逆矩陣並乘開矩陣積得到 
![\displaystyle \left\{\left[\!\!\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 0 \end{array}\!\!\right],\left[\!\!\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\!\!\right]\right\}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cleft%5C%7B%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D++-1%5C%5C++1%5C%5C++0++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%2C%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D++1%5C%5C++0%5C%5C++1++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D%5Cright%5C%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
所以，
![\displaystyle B=\left[\!\!\begin{array}{rcc} -1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++B%3D%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcc%7D++-1%261%260%5C%5C++1%260%261%5C%5C++0%260%260++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
意思是存在一可逆矩陣 
![\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{ccc} 1&0&1\\ 0&1&1\\ 0&0&0 \end{array}\!\!\right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cleft%5B%5C%21%5C%21%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D++1%260%261%5C%5C++0%261%261%5C%5C++0%260%260++%5Cend%7Barray%7D%5C%21%5C%21%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
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