每週問題 May 12, 2014

這是從矩陣跡數計算行列式的問題。

Let A be a 2\times 2 matrix. It is known that \text{trace}A=2 and \text{trace}(A^2)=10. Determine the determinant of A.

 
參考解答:

A 有特徵值 \lambda_1\lambda_2,則 \text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2\det A=\lambda_1\lambda_2。使用 \text{trace}(A^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2,可得 (\text{trace}A)^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+2\lambda_1\lambda_2=\text{trace}(A^2)+2\det A。由此解出 \det A=\frac{1}{2}((\text{trace}A)^2-\text{trace}(A^2)),故 \det A=\frac{1}{2}(2^2-10)=-3

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