每週問題 May 19, 2014

本週問題是利用 Cayley-Hamilton 定理推導 3\times 3 階逆矩陣公式。

Let A be a 3\times 3 nonsingular matrix. Show that

\displaystyle  A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^2-(\hbox{trace}A)A+\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}I\right).

 
參考解答:

寫出 3\times 3 階矩陣 A=[a_{ij}] 的特徵多項式

\displaystyle  \begin{aligned}  p(t)&=\begin{vmatrix}  a_{11}-t&a_{12}&a_{13}\\  a_{21}&a_{22}-t&a_{23}\\  a_{31}&a_{32}&a_{33}-t  \end{vmatrix}\\  &=-t^3+(a_{11}+a_{22}+a_{33})t^2-\left(\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{13}\\    a_{31}&a_{33}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    a_{22}&a_{23}\\    a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}\right)t+\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}&a_{13}\\    a_{21}&a_{22}&a_{23}\\    a_{31}&a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}\\  &=-t^3+(\hbox{trace}A)t^2-\left(\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{12}\\    a_{21}&a_{22}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    a_{11}&a_{13}\\    a_{31}&a_{33}    \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}    a_{22}&a_{23}\\    a_{32}&a_{33}    \end{vmatrix}\right)t+\det A.\end{aligned}

\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3A 的特徵值。因為特徵值是特徵多項式 p(t) 的根,

\displaystyle  \begin{aligned}  p(t)&=-(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)(t-\lambda_3)\\  &=-t^3+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)t^2-(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)t+\lambda_1\lambda_2\lambda_3.\end{aligned}

改寫上式中 t 項的係數並使用 \text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\text{trace}(A^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2,可得

\displaystyle  \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3=\frac{(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2-(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2)}{2}=\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}

套用 \det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3,Cayley-Hamilton 定理給出

\displaystyle    p(A)=-A^3+(\hbox{trace}A)A^2-\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}A+(\det A)I=0

上式左乘 (\det A)^{-1}A^{-1},即得

\displaystyle   A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(A^2-(\hbox{trace}A)A+\frac{(\hbox{trace}A)^2-\hbox{trace}(A^2)}{2}I\right)

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