答王jiun──關於平面上的鏡射問題

網友王jiun留言：

Dear 周老師，偶發機會，連上老師的網站，看到了好多矩陣的問題。原本是想查看看 Cayley-Hamilton 定理，因為高中數學解決矩陣高次方問題時，利用 Cayley-Hamilton 定理創造出一個特徵方程式，再除以此特徵方程式，將高次方變成處理餘式即可。這方法真妙……於是上網搜尋關鍵字，因緣際會連上老師的網站，真是福氣，學習好多好多東西 (原因還是很多看不懂)。

近期高中(四)3-4上課到鏡射矩陣，學習到一些好方法。因此利用直線的斜率創造出旋轉矩陣解決了對稱點的問題，但是偏偏課本舉例的對稱直線都是通過原點的。但是我發現若對稱直線沒有通過原點，那到底要怎麼解決呢？我原本想是不是先做點的平移，使直線通過原點，不過越想越頭痛，陷入思考盲點。以下是我從網路去找練習題目練習，都有給解答，但都沒有解釋。我怎麼都想不透？特請老師可否解救我，感恩。

問題一：設點 $\text{P}(x,y)$ 對於直線 $\text{L}:x-y+2=0$ 的鏡射點為 $\text{P}'(x',y')$ ，請找出 $(x,y)$ 與 $(x',y')$ 的關係 (見圖一)。

解答： $\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\[0.5em] \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+1\\ y-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x'+1\\ y'-1 \end{bmatrix}$

圖一：對於一不穿越原點的直線的鏡射(點圖放大)

問題二：如圖二，設直線 $\text{L}_1$ 與 $\text{L}_2$ 的夾角為 $\theta$ ，點 $\text{P}(x,y)$ 對於 $\text{L}_1$ 的鏡射點為 $\text{P}_1$ ，點 $\text{P}_1$ 對於 $\text{L}_2$ 的鏡射點為 $\text{P}_2(x',y')$ ，找出 $\text{P}(x,y)$ 與 $\text{P}_2(x',y')$ 的關係。(兩次鏡射等於一次旋轉)

解答： $\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\theta&-\sin 2\theta\\ \sin 2\theta&\cos 2\theta \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}$

圖二：對於兩相異直線的連續鏡射(點圖放大)

問題三：設點 $\text{P}(x,y)$ 對於直線 $\text{L}:ax+by+c=0$ (其中 $a^2+b^2\neq 0$ ) 的鏡射點為 $\text{P}'(x',y')$ ，請找出 $(x,y)$ 與 $(x',y')$ 的關係。

解答： $\begin{bmatrix} \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}&\frac{2ab}{a^2+b^2}\\[0.5em] \frac{2ab}{a^2+b^2}&\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\frac{ac}{a^2+b^2}\\[0.5em] y+\frac{bc}{a^2+b^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x'+\frac{ac}{a^2+b^2}\\[0.5em] y'+\frac{bc}{a^2+b^2} \end{bmatrix}$

第一題：那一直線斜率明明是 $1$ ，怎麼對稱矩陣跑出 $\sqrt{2}$ ？第二題：出現了一句話：兩次鏡射等於一次旋轉，為何？我一直證明不出來，可否請教？第三題更猛，他直接導出一個通解，我一直湊不出他的解答怎來的。老師，很不好意思，是否可以教我？(這個部份在高中是目前放在第四冊，但因鏡射矩陣高中學測不考，老師只是叫我們自己看，不做教學，等學測完，指考才有可能會考。所以，自己摸索自己看，這部份鏡射軸一平移後不通過原點，我卻卡住了。)

煩請老師賜教，謝謝。

迷思的高二學生上

答曰：

如果你解決不了手邊的問題，這時候你應該回想更基本的問題，譬如，從鏡射軸如何推演出鏡射矩陣？對於平面上穿越原點的鏡射軸，我先介紹兩個常用的鏡射矩陣基本公式，分別對應下列問題。

問題A：設直線 $\text{L}$ 穿越原點， $\text{L}$ 與正 $x$ 軸的逆時針夾角為 $\phi$ (以下夾角皆假設為逆時針旋轉角)，求鏡射矩陣 $H$ 。
問題B：設直線 $\text{L}$ 穿越原點，單位法向量為 $\overrightarrow{n}$ (即 $\overrightarrow{n}$ 的長度等於 $1$ )，求鏡射矩陣 $H$ 。

問題A提示我們或許可以採用三角幾何來推理，問題B則需要引進向量運算。底下我盡可能沿用高中數學符號，並且只使用基礎工具 (包含平面幾何知識、三角學和向量內積) 來解答。

先考慮問題A，圖三顯示點 $\text{P}(x,y)$ 對於鏡射軸 $\text{L}$ 的鏡射點為 $\text{P}'(x',y')$ 。令 $\overline{\text{OP}}=r$ 且向量 $\overrightarrow{\text{OP}}$ 與正 $x$ 軸的夾角為 $\alpha$ 。三角幾何給出點 $\text{P}$ 的座標為 $(x,y)=(r\cos\alpha,r\sin\alpha)$ ，鏡射點 $\text{P}'$ 的座標為 $(x',y')=(r\cos(2\phi-\alpha),r\sin(2\phi-\alpha))$ 。使用和角公式，可得

$\displaystyle\begin{aligned} x'&=r\cos(2\phi-\alpha)=r(\cos 2\phi\cos\alpha+\sin 2\phi\sin\alpha)=x\cos 2\phi+y\sin 2\phi\\ y'&=r\sin(2\phi-\alpha)=r(\sin 2\phi\cos\alpha-\cos 2\phi\sin\alpha)=x\sin 2\phi-y\cos 2\phi. \end{aligned}$

將線性方程組改寫成矩陣形式

$\displaystyle \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ ，

於是導出鏡射矩陣 (以下稱為公式A)

$\displaystyle H=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]$ 。

圖三：鏡射軸與正x軸的夾角(點圖放大)

考慮問題B，圖四顯示點 $\text{Q}$ 是鏡射軸 $\text{L}$ 上與點 $\text{P}$ 距離最短的點。根據正交原則， $\text{Q}$ 為點 $\text{P}$ 至直線 $\text{L}$ 的垂足，故 $\overrightarrow{\text{PQ}}$ 垂直於 $\overrightarrow{\text{OQ}}$ ，即 $\overrightarrow{\text{PQ}}$ 平行於直線 $\text{L}$ 的單位法向量 $\overrightarrow{n}$ 。高中數學稱 $\overrightarrow{\text{QP}}$ 為 $\overrightarrow{\text{OP}}$ 在 $\overrightarrow{n}$ 方向上的正射影。利用向量內積 (見“內積的定義”)，可得

$\displaystyle \overrightarrow{\text{PQ}}=-(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{OP}})\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{n}(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{OP}})$ ，

其中純量和向量乘法可交換。

圖四：鏡射軸與單位法向量(點圖放大)

接著我們將向量以端點的座標表示，寫出 $\overrightarrow{\text{OP}}=\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ 並令 $\overrightarrow{n}=\begin{bmatrix} n_x\\ n_y \end{bmatrix}$ 。向量內積可表示為矩陣運算，如下：

$\displaystyle \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=n_xx+n_yy=\begin{bmatrix} n_x&n_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\overrightarrow{n}^T\overrightarrow{\text{OP}}$ ，

其中 $\overrightarrow{n}^T$ 表示座標向量 $\overrightarrow{n}$ 的轉置。合併以上結果，鏡射點 $\text{P}'$ 的座標向量為

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}&=\overrightarrow{\text{OP}'}=\overrightarrow{\text{OP}}-2\overrightarrow{\text{PQ}}\\ &=\overrightarrow{\text{OP}}-2\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}^T\overrightarrow{\text{OP}}\right)\\ &=\left(I-2\overrightarrow{n}\overrightarrow{n}^T\right)\overrightarrow{\text{OP}}\\ &=\left(I-2\overrightarrow{n}\overrightarrow{n}^T\right)\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix},\end{aligned}$

其中 $I$ 是 $2\times 2$ 階單位矩陣， $\overrightarrow{n}\overrightarrow{n}^T$ 是一個 $2\times 2$ 階矩陣，稱為外積 (outer product)，此外積與向量積 (cross product) $\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{n}$ 不同，定義如下：

$\displaystyle \overrightarrow{n}\otimes\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n}\overrightarrow{n}^T=\begin{bmatrix} n_x\\ n_y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_x&n_y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n_x^2&n_xn_y\\ n_xn_y&n_y^2 \end{bmatrix}$ 。

我們得到以鏡射軸的單位法向量 $\overrightarrow{n}$ 表示的鏡射矩陣 (以下稱為公式B)

$\displaystyle\begin{aligned} H&=I-2\overrightarrow{n}\otimes\overrightarrow{n}\\ &=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} n_x^2&n_xn_y\\ n_xn_y&n_y^2 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1-2n_x^2&-2n_xn_y\\ -2n_xn_y&1-2n_y^2 \end{bmatrix}. \end{aligned}$

若鏡射軸 $\text{L}$ 與正 $x$ 軸的夾角為 $\phi$ ，則 $\text{L}$ 的單位法向量為 $\overrightarrow{n}=\left[\!\!\begin{array}{r} -\sin\phi\\ \cos\phi \end{array}\!\!\right]$ 。代入公式B並使用和角公式，即可導出公式A：

$\displaystyle H=\begin{bmatrix} 1-2\sin^2\phi&2\sin\phi\cos\phi\\ 2\sin\phi\cos\phi&1-2\cos^2\phi \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]$ 。

附帶一提，在高維空間中，以公式B表達的鏡射矩陣依然成立，詳見“特殊矩陣 (4)：Householder 矩陣”。

若鏡射軸 $\text{L}$ 未穿越原點，通過平移鏡射軸使之穿越原點 (點 $\text{P}$ 與鏡射點 $\text{P}'$ 也跟著平移)，如此便可套用前述鏡射矩陣公式。下面回答你提出的問題三。見圖一，設點 $\text{D}(d_x,d_y)$ 為原點 $\text{O}$ 至直線 $\text{L}:ax+by+c=0$ ( $a^2+b^2\neq 0$ ) 的垂足，穿越原點 $\text{O}$ 和 $\text{D}$ 的直線為 $\tilde{\text {L}}:bx-ay=0$ 。垂足 $\text{D}$ 為直線 $\text{L}$ 和 $\tilde{\text{L}}$ 的交點，可解得

$\displaystyle d_x=\frac{-ac}{a^2+b^2},~~d_y=\frac{-bc}{a^2+b^2}$ 。

將垂足 $\text{D}$ 平移至原點 $\text{O}$ ，對應的平移向量為 $(-dx,-dy)$ ，則直線 $\text{L}$ 平移至穿越原點且斜率不變的直線 $\text{L}':ax+by=0$ ，點 $\text{P}(x,y)$ 和鏡射點 $\text{P}'(x',y')$ 分別平移至點 $\text{Q}(x-d_x,y-d_y)$ 和 $\text{Q}'=(x'-d_x,y'-d_y)$ 。直線 $\text{L}'$ 的單位法向量為 $\overrightarrow{n}=\begin{bmatrix} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{bmatrix}$ ，代入鏡射矩陣公式B，可得 (不要相信我說的話，請自行推演)

$\displaystyle \begin{bmatrix} x'+\frac{ac}{a^2+b^2}\\[0.5em] y'+\frac{bc}{a^2+b^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}&-\frac{2ab}{a^2+b^2}\\[0.5em] -\frac{2ab}{a^2+b^2}&\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\frac{ac}{a^2+b^2}\\[0.5em] y+\frac{bc}{a^2+b^2} \end{bmatrix}$ 。

比較上式與你提供的解答，發現解答的鏡射矩陣的非主對角元少了負號。如欲採用鏡射矩陣公式A，直線 $\text{L}':ax+by=0$ 與正 $x$ 軸的夾角 $\phi$ 滿足 $\tan\phi=-\frac{a}{b}$ (此即直線的斜率)，使用三角公式

$\displaystyle \sin 2\phi=\frac{2\tan\phi}{1+\tan^2\phi},~~\cos 2\phi=\frac{1-\tan^2\phi}{1+\tan^2\phi}$ ，

亦可推得相同的鏡射矩陣。套用上面的通式，問題一直線 $\text{L}:x-y+2=0$ 的鏡射變換如下：

$\displaystyle \begin{bmatrix} x'+1\\ y'-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+1\\ y-1 \end{bmatrix}$ 。

你的懷疑是對的，鏡射矩陣不應該出現 $\sqrt{2}$ ，原題的解答有誤。

最後回答問題二 (參見圖二)。設直線 $\text{L}_1$ 穿越原點與正 $x$ 軸的夾角為 $\phi$ ，直線 $\text{L}_2$ 穿越原點與正 $x$ 軸的夾角為 $\psi$ ，且 $\text{L}_1$ 和 $\text{L}_2$ 的夾角為 $\theta$ ，即 $\theta=\psi-\phi$ 。使用鏡射矩陣公式A，連續兩次鏡射將點 $\text{P}(x,y)$ 映至點 $\text{P}_2(x',y')$ 的算式為

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}&=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\psi&\sin 2\psi\\ \sin 2\psi&-\cos 2\psi \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\phi&\sin 2\phi\\ \sin 2\phi&-\cos 2\phi \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \cos 2\psi\cos 2\phi+\sin 2\psi\sin 2\phi&\cos 2\psi\sin 2\phi-\sin 2\psi\cos 2\phi\\ \sin 2\psi\cos 2\phi-\cos 2\psi\sin 2\phi&\sin 2\psi\sin 2\phi+\cos 2\psi \cos 2\phi \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2(\psi-\phi)&-\sin 2(\psi-\phi)\\ \sin 2(\psi-\phi)&\cos 2(\psi-\phi) \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ &=\left[\!\!\begin{array}{cr} \cos 2\theta&-\sin 2\theta\\ \sin 2\theta &\cos 2\theta \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}, \end{aligned}$

故證明兩次鏡射等同於一次旋轉。

兩年以後，倘若你學習了線性代數，那時便可使用線性變換方法 (見“幾何變換矩陣的設計”) 或特徵分析技巧 (見“答Rich──關於特徵值與特徵向量的物理意義”) 來推導鏡射矩陣，並證明兩次鏡射即為一次旋轉 (見“Householder 矩陣乘積的特徵值”)。

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨

答王jiun──關於平面上的鏡射問題

Leave a Reply Cancel reply

搜尋(繁體中文或英文)

訊息看板

近期文章

線性代數專欄

其他主題專欄

每週問題

數據充分性問題

其他分類

Recent Comments

近期最多人點閱

分類

Archives

標籤雲

線代線上影音課程

線代學習網站

線代電子書

矩陣計算器

LaTeX

Blogroll

訂閱

閱讀導引

學習資源

專題探究

急救查詢

其他分頁

Meta

網路狀態

Blog Stats

答王jiun──關於平面上的鏡射問題

Share this:

Like this:

Leave a Reply Cancel reply

搜尋(繁體中文或英文)

訊息看板

近期文章

線性代數專欄

其他主題專欄

每週問題

數據充分性問題

其他分類

Recent Comments

近期最多人點閱

分類

Archives

標籤雲

線代線上影音課程

線代學習網站

線代電子書

矩陣計算器

LaTeX

Blogroll

訂閱