九宮圖的逆矩陣

本文的閱讀等級：初級

九宮圖 (Lo Shu square)，又稱洛書，即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足^[1]」。九宮圖的陣列表示如下：

$\displaystyle \begin{array}{ccc} 4&9&2\\ 3&5&7\\ 8&1&6 \end{array}$

所謂 $n$ 階幻方是指 $n^2$ 個相異的數字排列成 $n\times n$ 階陣列形式，其中每一列、行^[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 $\mu$ ，稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 $1,2,\ldots,n^2$ ，則稱之為自然幻方，其幻方常數由階數 $n$ 決定。因為 $n$ 階自然幻方的數字總和 $1+2+\cdots+n^2=\frac{n^2(n^2+1)}{2}$ 均分給 $n$ 個列，可知 $\mu=\frac{n^3+n}{2}$ 。九宮圖是一個三階自然幻方，幻方常數為 $\mu=15$ 。如果將九宮圖視為 $3\times 3$ 階矩陣 $A$ ，可以算出 $\det A=360$ ，逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”)

$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{360}\left[\!\!\begin{array}{rrr} 23&-52&53\\ 38&8&-22\\ -37&68&-7 \end{array}\!\!\right]$ 。

令人訝異的是，九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方)，幻方常數恰為 $\mu=1/15$ 。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。

我們先解說三階自然幻方的構造法。九宮圖有 $3$ 個列、 $3$ 個行，以及 $2$ 條對角線，對應下列 $8$ 種組合方式：

$\displaystyle\begin{aligned} 15&=1+5+9\\ 15&=1+6+8\\ 15&=2+4+9\\ 15&=2+5+8\\ 15&=2+6+7\\ 15&=3+4+8\\ 15&=3+5+7\\ 15&=4+5+6 \end{aligned}$

其中 $1,3,7,9$ 出現二次， $2,4,6,8$ 出現三次， $5$ 出現四次。這些訊息說明 $1,3,7,9$ 位在四個邊的中央， $2,4,6,8$ 在四個角落， $5$ 必須置於中心 (見下圖)。

九宮圖的8組數字和

根據上述規則，我們一共可以得到 $8$ 個三階自然幻方，如下所示：

$\displaystyle \begin{array}{ccc} 4&9&2\\ 3&5&7\\ 8&1&6 \end{array}~~~\begin{array}{ccc} 8&1&6\\ 3&5&7\\ 4&9&2 \end{array}~~~\begin{array}{ccc} 2&9&4\\ 7&5&3\\ 6&1&8 \end{array}~~~\begin{array}{ccc} 6&1&8\\ 7&5&3\\ 2&9&4 \end{array}$

$\displaystyle \begin{array}{ccc} 4&3&8\\ 9&5&1\\ 2&7&6 \end{array}~~~\begin{array}{ccc} 8&3&4\\ 1&5&9\\ 6&7&2 \end{array}~~~\begin{array}{ccc} 2&7&6\\ 9&5&1\\ 4&3&8 \end{array}~~~\begin{array}{ccc} 6&7&2\\ 1&5&9\\ 8&3&4 \end{array}$

從左上的九宮圖開始，通過置換第 $1,3$ 列、第 $1,3$ 行，並連續置換第 $1,3$ 列與行，可得右邊的三個幻方。底下的四個幻方分別為上面四個幻方的轉置。由於轉置不改變行列式，但置換任兩列或行改變行列式的正負號 (見“行列式的運算公式與性質”)，三階自然幻方的行列式等於 $\pm 360$ ，也就是說，所有的三階自然幻方都是可逆矩陣。

欲證明每一個三階自然幻方 $A$ 的逆矩陣為幻方，我們只要證明 (1) $A^{-1}$ 的每一列和與每一行和皆等於常數 $c$ ，(2) $A^{-1}$ 的主對角元和，即 $\text{trace}(A^{-1})$ ，等於 $c$ 。注意， $A^{-1}$ 的反主對角元和可表示為 $\text{trace}(PA^{-1})$ ，其中 $P=\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}$ 是反主對角排列 (permutation) 矩陣。然而， $\text{trace}(PA^{-1})=\text{trace}(P^{-1}A^{-1})=\text{trace}((AP)^{-1})$ ，其中 $AP$ 是一個自然幻方 (置換 $A$ 的第 $1,3$ 行)，由 (2) 可推論三階自然幻方的逆矩陣的反主對角元和等於主對角元和。

逆矩陣的列 (行) 和定理：令 $A$ 為一 $n\times n$ 階矩陣。若 $A$ 的每一列 (行) 和等於 $\mu$ ，則 $A^{-1}$ 的每一列 (行) 和等於 $1/\mu$ 。若 $\mu=0$ ，則 $A$ 不可逆。

下面提供兩個證明方法。第一個方法使用矩陣代數。令 $B=[b_{ij}]$ 為 $A=[a_{ij}]$ 的逆矩陣，滿足 $BA=I$ ，其中 $I=[\delta_{ij}]$ 是單位矩陣。假設 $A$ 的每一列和皆為 $\mu$ ，即 $\sum_{j=1}^na_{kj}=\mu$ ， $1\le k\le n$ ，可得

$\displaystyle\begin{aligned} 1&=\sum_{j=1}^n\delta_{ij}\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nb_{ik}a_{kj}\\ &=\sum_{k=1}^nb_{ik}\sum_{j=1}^na_{kj}\\ &=\mu\sum_{k=1}^nb_{ik}, \end{aligned}$

故 $\sum_{k=1}^nb_{ik}=1/\mu$ ， $1\le i\le n$ 。使用 $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ ， $A$ 的每一行和 (即 $A^T$ 的列和) 等於 $\mu$ 推得 $A^{-1}$ 的每一行和 (即 $(A^T)^{-1}$ 的列和) 等於 $1/\mu$ 。

第二個證明使用特徵分析。令 $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)^T$ 為一 $n$ 維向量，其中每一元為 $1$ 。假設 $A$ 的列和皆為 $\mu$ ，則有 $A\mathbf{1}=\mu\mathbf{1}$ ，可知 $A$ 有一特徵值 $\mu$ ，對應的特徵向量為 $\mathbf{1}$ 。特徵方程左乘 $A^{-1}$ ，可得 $A^{-1}A\mathbf{1}=\mathbf{1}=\mu A^{-1}\mathbf{1}$ ，故 $A^{-1}\mathbf{1}=\frac{1}{\mu}\mathbf{1}$ ，證明 $A^{-1}$ 的列和皆等於 $1/\mu$ 。將 $A$ 替換為 $A^T$ ，運用同樣的推理即可證明若 $A$ 的行和皆為 $\mu$ ，則 $A^{-1}$ 的每一行和為 $1/\mu$ 。如果 $\mu=0$ ，則 $\det A=0$ ， $A$ 不可逆。

接著計算三階自然幻方 $A$ 的逆矩陣跡數 (trace)。令 $A$ 的特徵值為 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 。由前述定理的證明過程得知 $A$ 有一特徵值 $\mu=15$ ，可設 $\lambda_1=\mu$ 。另一方面， $\text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\mu$ ，故 $\lambda_2+\lambda_3=0$ 。逆矩陣 $A^{-1}$ 的特徵值為 $1/\lambda_1,1/\lambda_2,1/\lambda_3$ ，故

$\displaystyle\begin{aligned} \text{trace}(A^{-1})&=\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}\\ &=\frac{1}{\mu}+\frac{\lambda_2+\lambda_3}{\lambda_2\lambda_3}\\ &=\frac{1}{\mu}. \end{aligned}$

請讀者自行驗證 $8$ 個三階自然幻方的特徵值僅有兩種可能： $15, \pm 2\sqrt{6}$ ，以及 $15,\pm 2\sqrt{6}i$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ 。

對於 $n>3$ 階自然幻方，其逆矩陣是否為一幻方？以 $n=4$ 為例，幻方常數為 $\mu=34$ ，左邊的自然幻方可逆，但右邊的自然幻方不可逆：

$\displaystyle \begin{array}{cccc} 1&12&13&8\\ 16&9&4&5\\ 2&7&14&11\\ 15&6&3&10 \end{array}~~~~~~~ \begin{array}{cccc} 1&8&11&14\\ 15&10&5&4\\ 6&3&16&9\\ 12&13&2&7 \end{array}$

對於左邊的可逆自然幻方，列 (行) 和定理保證逆矩陣的每一列 (行) 和等於 $1/34$ 。計算得到特徵值 $34, -8, 4\pm 2\sqrt{2}$ ，逆矩陣的跡數為

$\displaystyle \frac{1}{34}-\frac{1}{8}+\frac{1}{4+2\sqrt{2}}+\frac{1}{4-2\sqrt{2}}=\frac{1}{34}+\frac{7}{8}$ ，

故知逆矩陣不為幻方。

註解
[1] 維基百科：九宮圖
[2] 在台灣，橫向稱為列，縱向稱為行。在中國大陸，橫向稱為行，縱向稱為列。

2 Responses to 九宮圖的逆矩陣

謝旻樺 says:

05/23/2014 at 10:21 am

周老師您好：
請問”由 (2) 可推論自然幻方的逆矩陣的非主對角元和等於主對角元和。”裡面的非是否為筆誤？看不太懂這句的意思。

- ccjou says:
  
  05/23/2014 at 10:29 am
  
  謝謝指正。反主對角元誤植為非主對角元。

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨