九宮圖的逆矩陣

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九宮圖 (Lo Shu square),又稱洛書,即三階幻方 (magic square)。南宋楊輝《續古摘奇演算法》記載三階幻方的構造法:「九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足[1]」。九宮圖的陣列表示如下:

\displaystyle  \begin{array}{ccc}  4&9&2\\  3&5&7\\  8&1&6  \end{array}

所謂 n 階幻方是指 n^2 個相異的數字排列成 n\times n 階陣列形式,其中每一列、行[2]、主對角線與反主對角線 (anti-diagonal) 上的數字和皆等於 \mu,稱為幻方常數 (magic constant)。如果限定組合數字為連續正整數 1,2,\ldots,n^2,則稱之為自然幻方,其幻方常數由階數 n 決定。因為 n 階自然幻方的數字總和 1+2+\cdots+n^2=\frac{n^2(n^2+1)}{2} 均分給 n 個列,可知 \mu=\frac{n^3+n}{2}。九宮圖是一個三階自然幻方,幻方常數為 \mu=15。如果將九宮圖視為 3\times 3 階矩陣 A,可以算出 \det A=360,逆矩陣為 (見“三階逆矩陣公式”)

\displaystyle  A^{-1}=\frac{1}{360}\left[\!\!\begin{array}{rrr}  23&-52&53\\  38&8&-22\\  -37&68&-7  \end{array}\!\!\right]

令人訝異的是,九宮圖的逆矩陣也是一個幻方 (但非自然幻方),幻方常數恰為 \mu=1/15。下面我們利用矩陣運算來證明這個有趣的性質。

 
我們先解說三階自然幻方的構造法。九宮圖有 3 個列、3 個行,以及 2 條對角線,對應下列 8 種組合方式:

\displaystyle\begin{aligned}  15&=1+5+9\\  15&=1+6+8\\  15&=2+4+9\\  15&=2+5+8\\  15&=2+6+7\\  15&=3+4+8\\  15&=3+5+7\\  15&=4+5+6  \end{aligned}

其中 1,3,7,9 出現二次,2,4,6,8 出現三次,5 出現四次。這些訊息說明 1,3,7,9 位在四個邊的中央,2,4,6,8 在四個角落,5 必須置於中心 (見下圖)。

Lo Shu square

九宮圖的8組數字和

根據上述規則,我們一共可以得到 8 個三階自然幻方,如下所示:

\displaystyle  \begin{array}{ccc}  4&9&2\\  3&5&7\\  8&1&6  \end{array}~~~\begin{array}{ccc}  8&1&6\\  3&5&7\\  4&9&2  \end{array}~~~\begin{array}{ccc}  2&9&4\\  7&5&3\\  6&1&8  \end{array}~~~\begin{array}{ccc}  6&1&8\\  7&5&3\\  2&9&4  \end{array}

\displaystyle  \begin{array}{ccc}  4&3&8\\  9&5&1\\  2&7&6  \end{array}~~~\begin{array}{ccc}  8&3&4\\  1&5&9\\  6&7&2  \end{array}~~~\begin{array}{ccc}  2&7&6\\  9&5&1\\  4&3&8  \end{array}~~~\begin{array}{ccc}  6&7&2\\  1&5&9\\  8&3&4  \end{array}

從左上的九宮圖開始,通過置換第 1,3 列、第 1,3 行,並連續置換第 1,3 列與行,可得右邊的三個幻方。底下的四個幻方分別為上面四個幻方的轉置。由於轉置不改變行列式,但置換任兩列或行改變行列式的正負號 (見“行列式的運算公式與性質”),三階自然幻方的行列式等於 \pm 360,也就是說,所有的三階自然幻方都是可逆矩陣。

 
欲證明每一個三階自然幻方 A 的逆矩陣為幻方,我們只要證明 (1) A^{-1} 的每一列和與每一行和皆等於常數 c,(2) A^{-1} 的主對角元和,即 \text{trace}(A^{-1}),等於 c。注意,A^{-1} 的反主對角元和可表示為 \text{trace}(PA^{-1}),其中 P=\begin{bmatrix}  0&0&1\\  0&1&0\\  1&0&0  \end{bmatrix} 是反主對角排列 (permutation) 矩陣。然而,\text{trace}(PA^{-1})=\text{trace}(P^{-1}A^{-1})=\text{trace}((AP)^{-1}),其中 AP 是一個自然幻方 (置換 A 的第 1,3 行),由 (2) 可推論三階自然幻方的逆矩陣的反主對角元和等於主對角元和。

 
逆矩陣的列 (行) 和定理:令 A 為一 n\times n 階矩陣。若 A 的每一列 (行) 和等於 \mu,則 A^{-1} 的每一列 (行) 和等於 1/\mu。若 \mu=0,則 A 不可逆。

下面提供兩個證明方法。第一個方法使用矩陣代數。令 B=[b_{ij}]A=[a_{ij}] 的逆矩陣,滿足 BA=I,其中 I=[\delta_{ij}] 是單位矩陣。假設 A 的每一列和皆為 \mu,即 \sum_{j=1}^na_{kj}=\mu1\le k\le n,可得

\displaystyle\begin{aligned}  1&=\sum_{j=1}^n\delta_{ij}\\  &=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^nb_{ik}a_{kj}\\  &=\sum_{k=1}^nb_{ik}\sum_{j=1}^na_{kj}\\  &=\mu\sum_{k=1}^nb_{ik},  \end{aligned}

\sum_{k=1}^nb_{ik}=1/\mu1\le i\le n。使用 (A^{-1})^T=(A^T)^{-1}A 的每一行和 (即 A^T 的列和) 等於 \mu 推得 A^{-1} 的每一行和 (即 (A^T)^{-1} 的列和) 等於 1/\mu

 
第二個證明使用特徵分析。令 \mathbf{1}=(1,\ldots,1)^T 為一 n 維向量,其中每一元為 1。假設 A 的列和皆為 \mu,則有 A\mathbf{1}=\mu\mathbf{1},可知 A 有一特徵值 \mu,對應的特徵向量為 \mathbf{1}。特徵方程左乘 A^{-1},可得 A^{-1}A\mathbf{1}=\mathbf{1}=\mu A^{-1}\mathbf{1},故 A^{-1}\mathbf{1}=\frac{1}{\mu}\mathbf{1},證明 A^{-1} 的列和皆等於 1/\mu。將 A 替換為 A^T,運用同樣的推理即可證明若 A 的行和皆為 \mu,則 A^{-1} 的每一行和為 1/\mu。如果 \mu=0,則 \det A=0A 不可逆。

 
接著計算三階自然幻方 A 的逆矩陣跡數 (trace)。令 A 的特徵值為 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3。由前述定理的證明過程得知 A 有一特徵值 \mu=15,可設 \lambda_1=\mu。另一方面,\text{trace}A=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\mu,故 \lambda_2+\lambda_3=0。逆矩陣 A^{-1} 的特徵值為 1/\lambda_1,1/\lambda_2,1/\lambda_3,故

\displaystyle\begin{aligned}  \text{trace}(A^{-1})&=\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}\\  &=\frac{1}{\mu}+\frac{\lambda_2+\lambda_3}{\lambda_2\lambda_3}\\  &=\frac{1}{\mu}.  \end{aligned}

請讀者自行驗證 8 個三階自然幻方的特徵值僅有兩種可能:15, \pm 2\sqrt{6},以及 15,\pm 2\sqrt{6}i,其中 i=\sqrt{-1}

 
對於 n>3 階自然幻方,其逆矩陣是否為一幻方?以 n=4 為例,幻方常數為 \mu=34,左邊的自然幻方可逆,但右邊的自然幻方不可逆:

\displaystyle  \begin{array}{cccc}  1&12&13&8\\  16&9&4&5\\  2&7&14&11\\  15&6&3&10  \end{array}~~~~~~~  \begin{array}{cccc}  1&8&11&14\\  15&10&5&4\\  6&3&16&9\\  12&13&2&7  \end{array}

對於左邊的可逆自然幻方,列 (行) 和定理保證逆矩陣的每一列 (行) 和等於 1/34。計算得到特徵值 34, -8, 4\pm 2\sqrt{2},逆矩陣的跡數為

\displaystyle  \frac{1}{34}-\frac{1}{8}+\frac{1}{4+2\sqrt{2}}+\frac{1}{4-2\sqrt{2}}=\frac{1}{34}+\frac{7}{8}

故知逆矩陣不為幻方。

 
註解
[1] 維基百科:九宮圖
[2] 在台灣,橫向稱為列,縱向稱為行。在中國大陸,橫向稱為行,縱向稱為列。

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2 則回應給 九宮圖的逆矩陣

  1. 謝旻樺 說道:

    周老師您好:
    請問"由 (2) 可推論自然幻方的逆矩陣的非主對角元和等於主對角元和。"裡面的非是否為筆誤?看不太懂這句的意思。

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