每週問題 May 26, 2014

如果一個可逆方陣的奇異值都相同,這是甚麼特殊矩陣?

Let A be a nonsingular real matrix. If all singular values of A are equal, show that A=cU, where c is a real number and U is a real orthogonal matrix.

 
參考解答:

矩陣 A 的奇異值等於 A^TA 的特徵值平方根,可知 A^TA 的所有特徵值皆相同,設為 \lambda。實對稱矩陣 A^TA 可正交對角化為 A^TA= Q(\lambda I)Q^T,其中 Q 是正交矩陣,滿足 QQ^T=Q^TQ=I,推得 A^TA=\lambda I。再者,因為 A 可逆,A^TA 是正定矩陣,故 \lambda>0。令 U=\lambda^{-1/2}A。因此,U^TU=\lambda^{-1}A^TA=I,說明 U 是一實正交矩陣,即得證。

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