逆矩陣的列和

本文的閱讀等級：初級

考慮三維幾何空間的三個點 $(0,3,-5)$ ， $(1,0,2)$ 和 $(3,-1,7)$ ，求通過這三點的平面方程式。求解平面方程式的最簡單方法是找出平面的法向量 (運用行列式的平面方程解法參見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”)。在 $\mathbb{R}^3$ 空間，外積 (cross product，亦稱向量積) 經常被用於計算法向量。平面方程式的解法如下：先得到位於平面上的兩個向量，譬如， $(-1,3,-7)$ 和 $(-2,1,-5)$ ，計算它們的外積 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”)，

$\displaystyle (-1,3,-7)\times(-2,1,-5)=\left(\left|\!\!\begin{array}{cr} 3&-7\\ 1&-5 \end{array}\!\!\right|,\left|\!\!\begin{array}{cc} -7&-1\\ -5&-2 \end{array}\!\!\right|,\left|\!\!\begin{array}{cc} -1&3\\ -2&1 \end{array}\!\!\right|\right)=(-8,9,5)$ 。

所求的平面方程式即為 $-8(x-0)+9(y-3)+5(z+5)=0$ 。本文介紹一個基於矩陣代數的法向量算法：將三點的座標合併成矩陣

$\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{crr} 0&3&-5\\ 1&0&2\\ 3&-1&7 \end{array}\!\!\right]$ ，

其中每一列 (row) 為一個點的座標。此例 $A$ 是一個可逆矩陣，

$\displaystyle A^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 1&-8&3\\ -\frac{1}{2}&\frac{15}{2}&-\frac{5}{2}\\[0.3em] -\frac{1}{2}&\frac{9}{2}&-\frac{3}{2} \end{array}\!\!\right]$ 。

算出 $A^{-1}$ 的三個列和：

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{r} -4\\ \frac{9}{2}\\[0.3em] \frac{5}{2} \end{array}\!\!\right]$ ，

此即通過給定三點的平面的法向量。多數人或許初次聽聞這個奇特的方法，往下閱讀前，讀者不妨先自行嘗試證明。

詭奇的問題通常需要跳躍性思維來解答。跳躍式思考是指一種不依邏輯步驟，直接從命題跳到答案 (但不一定是出題者所預設的答案)，並再一步推而廣之到其他相關的可能的一種思考模式^[1]。考慮下面的上三角矩陣：

$\displaystyle D=\left[\!\!\begin{array}{crr} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\!\!\right]$ 。

對於 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T$ ， $D\mathbf{x}=(x_1-x_2,x_2-x_3,x_3)^T$ 計算 $\mathbf{x}$ 的相鄰兩元的差，故可稱之為差矩陣。有趣的是，差矩陣 $D$ 的逆矩陣也具有特殊形態：

$\displaystyle D^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$ ，

稱為和矩陣，原因在於 $\mathbf{x}^T D^{-1}=(x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3)$ 。令 $3\times 3$ 階矩陣 $A=[a_{ij}]$ ，其中列向量 $\begin{bmatrix} a_{i1}&a_{i2}&a_{i3} \end{bmatrix}$ 表示空間點的座標， $i=1,2,3$ 。令 $B=A^{-1}=[b_{ij}]$ 。寫出

$\displaystyle\begin{aligned} DA&=\begin{bmatrix} a_{11}-a_{21}&a_{12}-a_{22}&a_{13}-a_{23}\\ a_{21}-a_{31}&a_{22}-a_{32}&a_{23}-a_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}\\ BD^{-1}&=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{11}+b_{12}&b_{11}+b_{12}+b_{13}\\ b_{21}&b_{21}+b_{22}&b_{21}+b_{22}+b_{23}\\ b_{31}&b_{31}+b_{32}&b_{31}+b_{32}+b_{33} \end{bmatrix}. \end{aligned}$

因為 $\displaystyle (DA)(BD^{-1})=I=[\delta_{ij}]$ ，由 $\delta_{13}=\delta_{23}=0$ 推論 $BD^{-1}$ 的第三行 (column) $\begin{bmatrix} b_{11}+b_{12}+b_{13}\\ b_{21}+b_{22}+b_{23}\\ b_{31}+b_{32}+b_{33} \end{bmatrix}$ (即 $A^{-1}$ 的列和構成的向量) 正交於 $DA$ 的第一列

$\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11}-a_{21}&a_{12}-a_{22}&a_{13}-a_{23}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}$

與第二列

$\displaystyle \begin{bmatrix} a_{21}-a_{31}&a_{22}-a_{32}&a_{23}-a_{33}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}$ ，

因此得證。

推廣至一般情況，設 $(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in})$ ， $1\le i\le n$ ，為 $\mathbb{R}^n$ 中 $n$ 個點的座標。若 $A=[a_{ij}]$ 為一個 $n\times n$ 階可逆矩陣，則通過這 $n$ 個點的超平面 (見“超平面”) 不包含原點並且唯一存在， $A^{-1}$ 的列和所組成的 $n$ 維向量即為此超平面的法向量。

引用來源：
[1] 維基百科：跳躍性思維。　

後記
網友 yuyumagic 提供一個更簡潔的解釋。設平面方程式為 $ax+by+cz+d=0$ ，將平面上三點的座標代入，可得聯立方程組：

$\displaystyle\begin{aligned} 3b-5c+d&=0\\ a+2c+d&=0\\ 3a-b+7c+d&=0,\end{aligned}$

或以矩陣表達：

$\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{crr} 0&3&-5\\ 1&0&2\\ 3&-1&7 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} a\\ b\\ c\end{bmatrix}=-d\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 。

線性方程的解 $(a,b,c)$ 即為法向量，

$\displaystyle \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\end{bmatrix}=(-d)\left[\!\!\begin{array}{crr} 0&3&-5\\ 1&0&2\\ 3&-1&7 \end{array}\!\!\right]^{-1}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ ，

上式中 $d\neq 0$ ，因為三點座標形成可逆矩陣，其行列式不等於零，表示平面不穿越原點。

5 Responses to 逆矩陣的列和

yuyumagic424 says:

05/21/2015 at 6:47 pm

我想到的是
平面方程式 $ax+by+cz=d$
三個點代入都合方程式，
所以寫出：
$\begin{bmatrix} ~0 & 3 & -5~\\ ~1 & 0 & 2~\\ ~3 & -1 & 7~ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} ~a~\\ ~b~\\ ~c~ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ~d~\\ ~d~\\ ~d~ \end{bmatrix}$
這便有
$\begin{bmatrix} ~a~\\ ~b~\\ ~c~ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ~0 & 3 & -5~\\ ~1 & 0 & 2~\\ ~3 & -1 & 7~ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} ~d~\\ ~d~\\ ~d~ \end{bmatrix}$

- ccjou says:
  
  05/21/2015 at 8:45 pm
  
  謝謝分享，這個直覺推論比我原來寫的簡單多了。
  
  我將你的回應編輯過以正確顯示，LaTeX語法是
  \begin{bmatrix}
  a&b\\
  c&d
  \end{bmatrix}
  
  - phenix says:
    
    04/11/2021 at 4:18 pm
    
    好妙啊，高数在学平面方程的时候根本就没往这方面想😅
    
suehang says:

06/07/2015 at 1:33 pm

哎,LaTeX,我永远的痛!

xiaokeshen says:

03/20/2020 at 1:57 pm

Thanks a lot.
後記 should be ax+by+cz instead of
ax+by+cy. It should be a typo.

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