逆矩陣的列和

本文的閱讀等級:初級

考慮三維幾何空間的三個點 (0,3,-5)(1,0,2)(3,-1,7),求通過這三點的平面方程式。求解平面方程式的最簡單方法是找出平面的法向量 (運用行列式的平面方程解法參見“利用行列式求直線、平面和圓方程式”)。在 \mathbb{R}^3 空間,外積 (cross product,亦稱向量積) 經常被用於計算法向量。平面方程式的解法如下:先得到位於平面上的二個向量,譬如,(-1,3,-7)(-2,1,-5),計算它們的外積 (見“答張盛東──關於外積與行列式的關係”),

\displaystyle (-1,3,-7)\times(-2,1,-5)=\left(\left|\!\!\begin{array}{cr} 3&-7\\ 1&-5 \end{array}\!\!\right|,\left|\!\!\begin{array}{cc} -7&-1\\ -5&-2 \end{array}\!\!\right|,\left|\!\!\begin{array}{cc} -1&3\\ -2&1 \end{array}\!\!\right|\right)=(-8,9,5)

所求的平面方程式即為 -8(x-0)+9(y-3)+5(z+5)=0。本文介紹一個基於矩陣代數的法向量算法:將三點的座標合併成一矩陣

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{crr} 0&3&-5\\ 1&0&2\\ 3&-1&7 \end{array}\!\!\right]

其中每一列 (row) 為一個點的座標。此例 A 是一個可逆矩陣,

\displaystyle A^{-1}=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 1&-8&3\\ -\frac{1}{2}&\frac{15}{2}&-\frac{5}{2}\\[0.3em] -\frac{1}{2}&\frac{9}{2}&-\frac{3}{2} \end{array}\!\!\right]

算出 A^{-1} 的三個列和:

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{r} -4\\ \frac{9}{2}\\[0.3em] \frac{5}{2} \end{array}\!\!\right]

此即通過給定三點的平面的法向量。多數人或許初次聽聞這個奇特的方法,往下閱讀前,讀者不妨先自行嘗試證明。

 
詭奇的問題通常需要跳躍性思維來解答。跳躍式思考是指一種不依邏輯步驟,直接從命題跳到答案 (但不一定是出題者所預設的答案),並再一步推而廣之到其他相關的可能的一種思考模式[1]。考慮下面的上三角矩陣:

\displaystyle D=\left[\!\!\begin{array}{crr} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array}\!\!\right]

對於 \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^TD\mathbf{x}=(x_1-x_2,x_2-x_3,x_3)^T 計算 \mathbf{x} 的相鄰兩元的差,故可稱之為差矩陣。有趣的是,差矩陣 D 的逆矩陣也具有特殊形態:

\displaystyle D^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{bmatrix}

稱為和矩陣,原因在於 \mathbf{x}^T D^{-1}=(x_1,x_1+x_2,x_1+x_2+x_3)。令 3\times 3 階矩陣 A=[a_{ij}],其中列向量 \begin{bmatrix} a_{i1}&a_{i2}&a_{i3} \end{bmatrix} 表示空間點的座標,i=1,2,3。令 B=A^{-1}=[b_{ij}]。寫出

\displaystyle\begin{aligned} DA&=\begin{bmatrix} a_{11}-a_{21}&a_{12}-a_{22}&a_{13}-a_{23}\\ a_{21}-a_{31}&a_{22}-a_{32}&a_{23}-a_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}\\ BD^{-1}&=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{11}+b_{12}&b_{11}+b_{12}+b_{13}\\ b_{21}&b_{21}+b_{22}&b_{21}+b_{22}+b_{23}\\ b_{31}&b_{31}+b_{32}&b_{31}+b_{32}+b_{33} \end{bmatrix}. \end{aligned}

因為 \displaystyle (DA)(BD^{-1})=I=[\delta_{ij}],由 \delta_{13}=\delta_{23}=0 推論 BD^{-1} 的第三行 (column) \begin{bmatrix} b_{11}+b_{12}+b_{13}\\ b_{21}+b_{22}+b_{23}\\ b_{31}+b_{32}+b_{33} \end{bmatrix} (即 A^{-1} 的列和構成的向量) 正交於 DA 的第一列

\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11}-a_{21}&a_{12}-a_{22}&a_{13}-a_{23}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}

與第二列

\displaystyle \begin{bmatrix} a_{21}-a_{31}&a_{22}-a_{32}&a_{23}-a_{33}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}

因此得證。

 
推廣至一般情況,設 (a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in})1\le i\le n,為 \mathbb{R}^nn 個點的座標。若 A=[a_{ij}] 為一 n\times n 階可逆矩陣,則通過這 n 個點的超平面 (見“超平面”) 不包含原點並且唯一存在,A^{-1} 的列和所組成的 n 維向量即為此超平面的法向量。

 
引用來源:
[1] 維基百科:跳躍性思維。 

 
後記
網友 yuyumagic 提供一個更簡潔的解釋。設平面方程式為 ax+by+cy+d=0,將平面上三點的座標代入,可得聯立方程組:

\displaystyle\begin{aligned} 3b-5c+d&=0\\ a+2c+d&=0\\ 3a-b+7c+d&=0,\end{aligned}

或以矩陣表達:

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{crr} 0&3&-5\\ 1&0&2\\ 3&-1&7 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} a\\ b\\ c\end{bmatrix}=-d\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}

線性方程的解 (a,b,c) 即為法向量,

\displaystyle \begin{bmatrix} a\\ b\\ c\end{bmatrix}=(-d)\left[\!\!\begin{array}{crr} 0&3&-5\\ 1&0&2\\ 3&-1&7 \end{array}\!\!\right]^{-1}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}

上式中 d\neq 0,因為三點座標形成可逆矩陣,其行列式不等於零,表示平面不穿越原點。

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3 Responses to 逆矩陣的列和

  1. yuyumagic424 說道:

    我想到的是
    平面方程式ax+by+cz=d
    三個點代入都合方程式,
    所以寫出:
    \begin{bmatrix} ~0 & 3 & -5~\\ ~1 & 0 & 2~\\ ~3 & -1 & 7~ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} ~a~\\ ~b~\\ ~c~ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ~d~\\ ~d~\\ ~d~ \end{bmatrix}
    這便有
    \begin{bmatrix} ~a~\\ ~b~\\ ~c~ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ~0 & 3 & -5~\\ ~1 & 0 & 2~\\ ~3 & -1 & 7~ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} ~d~\\ ~d~\\ ~d~ \end{bmatrix}

    • ccjou 說道:

      謝謝分享,這個直覺推論比我原來寫的簡單多了。

      我將你的回應編輯過以正確顯示,LaTeX語法是
      \begin{bmatrix}
      a&b\\
      c&d
      \end{bmatrix}

  2. suehang 說道:

    哎,LaTeX,我永远的痛!

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