每週問題 June 2, 2014

這是求極小範數解的問題,取自“2014年台大資工所碩士班招生考試試題”。

Consider the following system of linear equations:

\displaystyle\begin{aligned}  2x+y+z&=4\\  4x+2y+2z&=8\\  5x+y&=19.  \end{aligned}

Find the solution (x,y,z) to the above system of linear equations that minimizes x^2+y^2+z^2.

 
參考解答:

先化簡增廣矩陣 \begin{bmatrix}  A|\mathbf{b}  \end{bmatrix} 至簡約列梯形式:

\displaystyle  \left[\!\!\begin{array}{ccccr}  2&1&1&\vline&4\\  4&2&2&\vline&8\\  5&1&0&\vline&19  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{crrcc}  2&1&1&\vline&4\\  0&0&0&\vline&0\\  0&-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}&\vline&9  \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{ccrcr}  1&0&-\frac{1}{3}&\vline&5\\[0.3em]  0&1&\frac{5}{3}&\vline&-6\\  0&0&0&\vline&0  \end{array}\!\!\right]

寫出通解表達式

\displaystyle\begin{aligned}  x&=\frac{1}{3}\alpha+5\\  y&=-\frac{5}{3}\alpha-6\\  z&=\alpha.  \end{aligned}

最小化 x^2+y^2+z^2 的特解稱為極小範數解,此解屬於係數矩陣 A 的列空間 (row space)。換句話說,極小範數解正交於 A 的零空間 (nullspace,即列空間的正交補餘) N(A)=\text{span}\{(1,-5,3)\},就有

\displaystyle  \left(\frac{\alpha}{3}+5\right)-5\left(-\frac{5\alpha}{3}-6\right)+3\alpha=0

解得 \alpha=-3。所求最小範數解即為 (x,y,z)=(4,-1,-3)

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