每週問題 June 9, 2014

這是計算四階矩陣的特徵值的交互乘積 \sum_{1\le i<j\le 4}\lambda_i\lambda_j 的問題,取自“2013年台大資工所碩士班招生考試試題”。

Let

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  1&2&3&4\\  8&7&6&5\\  1&4&5&8\\  2&3&6&7  \end{bmatrix}.

If \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 are eigenvalues of A, determine \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4.

 
參考解答:

算法1:使用恆等式

\displaystyle  (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+\lambda_4^2+2(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4)

因此,

\displaystyle  \sum_{1\le i<j\le 4}\lambda_i\lambda_j=\frac{1}{2}\left(\left(\sum_{i=1}^4\lambda_i\right)^2-\sum_{i=1}^4\lambda_i^2\right)=\frac{1}{2}\left((\text{trace}A)^2-\text{trace}(A^2)\right)

其中

\displaystyle  A^2=\left[\!\!\begin{array}{rrrr}  28 &  40&  54& 66\\  80 &104&126&150\\  54& 74& 100& 120\\  46& 70& 96& 120  \end{array}\!\!\right]

實際上,我們僅需算出 A^2 的主對角元。所求即為

\displaystyle  \sum_{1\le i<j\le 4}\lambda_i\lambda_j=\frac{1}{2}\left((1+7+5+7)^2-(28+104+100+120)\right)=24

 
算法2:特徵多項式 p_A(t)=\det (A-tI)=\prod_{i=1}^4(\lambda_i-t) 的二次項 t^2 之係數即為所求 \sum_{1\le i<j\le 4}\lambda_i\lambda_j,稱為二次基本對稱函數 (elementary symmetric function)。展開 \det(A-tI) 可確認二次項係數等於 A\binom{4}{2}=6 個二階主子陣的行列式,稱為二階主餘子式 (principal minor),之和。計算如下:

\displaystyle\begin{aligned}  \sum_{1\le i<j\le 4}\lambda_i\lambda_j  &=\begin{vmatrix}  1&2\\  8&7  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  1&3\\  1&5  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  1&4\\  2&7  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  7&6\\  4&5  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  7&5\\  3&7  \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}  5&8\\  6&7  \end{vmatrix}\\  &=-9+2-1+11+34-13=24.\end{aligned}

 
算法3:觀察出 A 是一個不可逆矩陣,\lambda_1=0,且

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  1&2&3&4\\  8&7&6&5\\  1&4&5&8\\  2&3&6&7  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&2&3&0\\  8&7&6&0\\  1&4&5&0\\  2&3&6&0  \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cccr}  1&0&0&-1\\  0&1&0&1\\  0&0&1&1\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]=XY

因為 XYXY 有相同的非零特徵值,算出

\displaystyle  YX=\left[\!\!\begin{array}{rrrc}  -1&-1&-3&0\\  10&10&12&0\\  3&7&11&0\\  0&0&0&0  \end{array}\!\!\right]

使用算法2,可得

\displaystyle\begin{aligned}  \sum_{2\le i<j\le 4}\lambda_i\lambda_j  &=\left|\!\!\begin{array}{rr}  -1&-1\\  10&10  \end{array}\!\!\right|+\left|\!\!\begin{array}{rr}  -1&-3\\  3&11  \end{array}\!\!\right|+\left|\!\!\begin{array}{rc}  10&12\\  7&11  \end{array}\!\!\right|\\  &=0-2+26=24.\end{aligned}

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2 則回應給 每週問題 June 9, 2014

  1. Meiyue Shao 說道:

    也可以算六个二阶主子式的和,计算起来略快一些。

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