## 每週問題 June 9, 2014

Let

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\ 8&7&6&5\\ 1&4&5&8\\ 2&3&6&7 \end{bmatrix}.$

If $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$ are eigenvalues of $A$, determine $\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4$.

$\displaystyle (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4)^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2+\lambda_4^2+2(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4)$

$\displaystyle \sum_{1\le i

$\displaystyle A^2=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 28 & 40& 54& 66\\ 80 &104&126&150\\ 54& 74& 100& 120\\ 46& 70& 96& 120 \end{array}\!\!\right]$

$\displaystyle \sum_{1\le i

\displaystyle\begin{aligned} \sum_{1\le i

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\ 8&7&6&5\\ 1&4&5&8\\ 2&3&6&7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2&3&0\\ 8&7&6&0\\ 1&4&5&0\\ 2&3&6&0 \end{bmatrix}\left[\!\!\begin{array}{cccr} 1&0&0&-1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]=XY$

$\displaystyle YX=\left[\!\!\begin{array}{rrrc} -1&-1&-3&0\\ 10&10&12&0\\ 3&7&11&0\\ 0&0&0&0 \end{array}\!\!\right]$

\displaystyle\begin{aligned} \sum_{2\le i

### 2 Responses to 每週問題 June 9, 2014

1. Meiyue Shao 說道：

也可以算六个二阶主子式的和，计算起来略快一些。

• ccjou 說道：

補充了二階主餘子式的算法。