每週問題 June 16, 2014

這是一個非常重要的命題:實對稱矩陣對應相異特徵值的特徵向量必定正交。

Let A be a real symmetric matrix. If \mathbf{x} and \mathbf{y} are eigenvectors of A, corresponding to distinct eigenvalues, show that \mathbf{x} and \mathbf{y} are orthogonal.

 
參考解答:

下面介紹一個快捷的證明。因為 A^T=A

\displaystyle  (A\mathbf{x})^T\mathbf{y}=\mathbf{x}^TA^T\mathbf{y}=\mathbf{x}^T(A\mathbf{y})

將特徵方程 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}A\mathbf{y}=\mu\mathbf{y} 代入上式,立得

\displaystyle  \lambda\mathbf{x}^T\mathbf{y}=\mu\mathbf{x}^T\mathbf{y}

\lambda\neq\mu,證得 \mathbf{x}^T\mathbf{y}=0

廣告
本篇發表於 pow 內積空間, 每週問題 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s