每週問題 June 23, 2014

這是求極小範數解的問題,高中數學即可作答。

The general solution to a linear system of equations is described by

\displaystyle  \begin{bmatrix}  x\\  y\\  z  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1\\  2\\  4  \end{bmatrix}+\alpha\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  0\\  -1  \end{array}\!\!\right]+\beta\begin{bmatrix}  0\\  1\\  2  \end{bmatrix},

where \alpha and \beta are arbitrary parameters. Determine the vector (x,y,z) that has minimum length.

 
參考解答:

下面提供三種不同的解法。

第一個方法使用微分學。考慮

\displaystyle  L=x^2+y^2+z^2=(1+\alpha)^2+(2+\beta)^2+(4-\alpha+2\beta)^2

計算偏導數,並設為零:

\displaystyle\begin{aligned}  \frac{\partial L}{\partial\alpha}&=2(1+\alpha)-2(4-\alpha+2\beta)=2(2\alpha-2\beta-3)=0\\  \frac{\partial L}{\partial\beta}&=2(2+\beta)+4(4-\alpha+2\beta)=2(-2\alpha+5\beta+10)=0.  \end{aligned}

解開聯立方程組可得 \alpha=-\frac{5}{6}\beta=-\frac{7}{3},故 (x,y,z)=\left(\frac{1}{6},-\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)。微分學解法純粹是代數方法,缺乏幾何直觀。

第二個方法運用解析幾何求解。觀察可知通解構成 \mathbb{R}^3 中一個穿越特解 (1,2,4) 的平面。對於平面上的任一點 (x,y,z),向量 (x-1,y-2,z-4)(1,0,-1)(0,1,2) 組成一線性相關集,故平面方程式為

\displaystyle  \begin{vmatrix}  x-1&y-2&z-4\\  1&0&-1\\  0&1&2  \end{vmatrix}=x-2y+z-1=0

根據正交原則,平面中長度最短的向量與該平面垂直,也就是與平面的法向量平行,故可設 (x,y,z)=t(1,-2,1)。代入平面方程式解出 t=\frac{1}{6},所求為 \frac{1}{6}(1,-2,1)。解析幾何解法雖然快捷,但不容易推廣至高維空間。

第三個方法使用內積空間。所求稱為線性方程 A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的極小範數解,此解位於 A 的列空間 (row space)。給出的通解表明 A 的零空間為 N(A)=\text{span}\{(1,0,-1),(0,1,2)\},但 A 的列空間是零空間的正交補餘 (orthogonal complement),推論極小範數解等於任一特解扣除至零空間 N(A) 的正交投影。令

\displaystyle  B=\left[\!\!\begin{array}{rc}  1&0\\  0&1\\  -1&2  \end{array}\!\!\right]

零空間 N(A) 的正交投影矩陣為

\displaystyle  P=B(B^TB)^{-1}B^T=\frac{1}{6}\left[\!\!\begin{array}{rcr}  5&2&-1\\  2&2&2\\  -1&2&5  \end{array}\!\!\right]

因此極小範數解是

\displaystyle  \begin{bmatrix}  1\\  2\\  4  \end{bmatrix}-P\begin{bmatrix}  1\\  2\\  4  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1\\  2\\  4  \end{bmatrix}-\frac{1}{6}\left[\!\!\begin{array}{r}  5\\  14\\  23  \end{array}\!\!\right]=\frac{1}{6}\left[\!\!\begin{array}{r}  1\\  -2\\  1  \end{array}\!\!\right]

內積空間解法的缺點是涉及逆矩陣以及矩陣乘法運算。

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