保長、保角與共形映射

本文的閱讀等級:中級

A 為一 n\times n 階實矩陣。我們可以將 A 視為一個從幾何向量空間 \mathbb{R}^n 映至 \mathbb{R}^n 的線性變換:\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x},其中 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n。如果線性變換 A 不改變向量長度,則 A 稱為保長 (length-preserving) 映射或等距同構 (isometry)。保長映射 A 有下列等價的定義方式 (見“等距同構與么正矩陣”):

  1. A 是一實正交矩陣 (orthogonal matrix),即 A^TA=AA^T=I
  2. 對於每一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert
  3. 對於任何 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert
  4. 對於任何 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^T\mathbf{y}

保長映射的定義條件相當嚴苛,我們可以將它稍微放鬆。兩個實向量 \mathbf{x}\mathbf{y} 的內積定義為 (見“內積的定義”)

\displaystyle  \mathbf{x}^T\mathbf{y}=\Vert\mathbf{x}\Vert \Vert\mathbf{y}\Vert\cos\theta

其中 \theta\mathbf{x}\mathbf{y} 的夾角。對於任意非零向量 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n,若線性變換 A 不改變 \mathbf{x}\mathbf{y} 的夾角,也就是說,

\displaystyle  \frac{(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{y})}{\Vert A\mathbf{x}\Vert\Vert A\mathbf{y}\Vert}=\frac{\mathbf{x}^T\mathbf{y}}{\Vert \mathbf{x}\Vert\Vert \mathbf{y}\Vert}

A 稱為保角 (angle-preserving) 映射。這個定義式隱含了 A 必須是一個可逆矩陣,否則存在 \mathbf{x}\neq\mathbf{0} 使得 A\mathbf{x}=\mathbf{0},如此便無從計算夾角。

 
保角映射 A 具有甚麼樣的矩陣結構?令 \mathbf{x}=\mathbf{e}_i\mathbf{y}=\mathbf{e}_j,其中 \mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\mathbb{R}^n 的標準單位向量 (\mathbf{e}_i 的第 i 元為 1,其餘元為 0)。當 i\neq j\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_j=0,可知

\displaystyle  0=(A\mathbf{e}_i)^T(A\mathbf{e}_j)=\mathbf{e}_i^T(A^TA)\mathbf{e}_j=(A^TA)_{ij}

其中 (A^TA)_{ij} 表示 A^TA(i,j) 元,表明 A^TA 是一對角矩陣。接著我們分析 A^TA 的主對角元。令 \mathbf{x}=\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j\mathbf{y}=\mathbf{e}_i+\mathbf{e}_j。當 i\neq j

\displaystyle  (\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j)^T(\mathbf{e}_i+\mathbf{e}_j)=\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_i+\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_j-\mathbf{e}_j^T\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j^T\mathbf{e}_j=0

可得

\displaystyle\begin{aligned}  0&=\left(A(\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j)\right)^T\left(A(\mathbf{e}_i+\mathbf{e}_j)\right)\\  &=(\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j)^TA^TA(\mathbf{e}_i+\mathbf{e}_j)\\  &=\mathbf{e}_i^T(A^TA)\mathbf{e}_i+\mathbf{e}_i^T(A^TA)\mathbf{e}_j-\mathbf{e}_j^T(A^TA)\mathbf{e}_i-\mathbf{e}_j^T(A^TA)\mathbf{e}_j\\  &=(A^TA)_{ii}-(A^TA)_{jj},  \end{aligned}

故知 A^TA 有相同的主對角元,換句話說,A^TA 是一純量矩陣,記為 A^TA=\lambda I。但 \text{rank}A=\text{rank}(A^TA)=n,推論 \lambda\neq 0。令 Q=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}A。計算 Q^TQ=\frac{1}{\lambda}A^TA=I,即知 Q 為一正交矩陣。所以,保角線性映射的形式為 A=sQ,其中 Q^T=Q^{-1}s\neq 0 代表伸縮量。

 
保角映射和保長映射 (即正交矩陣) 之間的差異在於保角映射另具有伸縮效應。因為 \det (Q^TQ)=(\det Q^T)(\det Q)=(\det Q)^2=\det I=1,正交矩陣 Q 的行列式為 \det Q=\pm 1。若 \det Q=1,則保角映射 A 為伸縮和旋轉的複合變換 (見“三維空間的旋轉矩陣”);若 \det Q=-1,則保角映射 A 為伸縮和鏡射的複合變換 (見“特殊矩陣 (4):Householder 矩陣”)。

 
保角映射鮮少出現於線性代數中 (保角線性映射其實就是伸縮和旋轉/鏡射的複合變換),它的主要舞台在複分析和測繪學 (topography)。下面簡單介紹複分析的保角映射。對於定義域 \Omega\subset\mathbb{R}^2,我們稱 f:\Omega\to\mathbb{R}^2 為一共形映射 (conformal map),若 f 保持定向 (orientation) 或定向角 (oriented angle)。具體地說,令

\displaystyle  f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))

其中 u(x,y)v(x,y) 是可導函數。從幾何面來說,Jacobian 矩陣將 xy 平面的切向量映至 uv 平面的切向量 (見“Jacobian 矩陣與行列式”),定義如下:

\displaystyle  J(x,y)=\begin{bmatrix}  \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\[0.8em]  \displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}&\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}  \end{bmatrix}

對於每一 (x,y)\in \Omega,若 J(x,y)=s(x,y)R(x,y),其中 s(x,y) 為一非零純量且 R(x,y) 為一 2\times 2 階旋轉矩陣,則 f 稱為共形映射。簡單講,共形映射將 xy 平面的一個小正方形映至 (通過伸縮和旋轉) uv 平面的一個小正方形,見圖共形映射(Wikimedia)。從共形映射的幾何表現可以推斷下列性質成立:

性質1:若 f:\Omega\to\mathbb{R}^2g:f(\Omega)\to\mathbb{R}^2 是共形映射,則複合映射 g\circ f 也是共形映射。
性質2:若 f:\Omega\to\mathbb{R}^2 是共形映射,則 f^{-1} 也是共形映射。

 
我們知道複數體 \mathbb{C} 可視為二維平面 \mathbb{R}^2,稱為複數平面。令實部單位 1 在複數平面的座標為 (1,0),虛部單位 i=\sqrt{-1} 在複數平面的座標為 (0,1)。任一複數 z 可唯一表示為 z=x+yi,其中 xy 是實數,也就是說,複數 x+yi 可以視為實數 xy 組成的有序對:

\displaystyle    x+yi\leftrightarrow (x,y)

在複分析中,Möbius 變換,亦稱線性分式變換 (linear fractional transformation),具有下列有理函數形式:

\displaystyle  f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

其中 a,b,c,d 都是複數,且 ad-bc\neq 0 (若 ad=bc,則 f(z) 退化為常數 \frac{b}{d})。即便我們不熟悉複分析,運用矩陣代數也能夠證明 Möbius 變換是共形映射。(事實上,所有的可逆共形映射 f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} 構成 Möbius 群。) 若 c\neq 0,Möbius 變換可表示如下:

\displaystyle\begin{aligned}  f(z)&=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\frac{a}{c}\left(cz+\frac{bc}{a}\right)}{cz+d}\\  &=\frac{a}{c}\frac{cz+d+\frac{bc}{a}-d}{cz+d}\\  &=\frac{a}{c}\left(1+\frac{bc-ad}{a(cz+d)}\right)\\  &=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\left(z+\frac{d}{c}\right)^{-1}.  \end{aligned}

以下設 z\neq -\frac{d}{c}。上式顯示 Möbius 變換可分解成四個變換:

  1. f_1(z)=z+\frac{d}{c},平移 \frac{d}{c}
  2. f_2(z)=z^{-1}=\overline{z}\vert z\vert^{-2},逆元運算;
  3. f_3(z)=(\frac{bc-ad}{c^2})z,乘法運算;
  4. f_4(z)=z+\frac{a}{c},平移 \frac{a}{c}

這四個變換的複合即為 Möbius 變換:

\displaystyle  f(z)=\left(f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1\right)(z)

根據性質1,如果能證明 f_1,f_2,f_3,f_4 是共形映射,則 f 是共形映射。另外,性質2說明若 h(z)=z 是共形映射,則 f_2(z)=h^{-1}(z)=z^{-1} 是共形映射。所以,我們只要證明 g(z)=wz+t (w\neq 0) 是共形映射即可。若 w=1g(z)=z+t 為平移;若 t=0g(z)=wz 為複數乘法運算。令 t=p+qiz=x+yi,且 w 的極座標表達式為 w=re^{i\theta}r\neq 0。通過同態 (homomorphism) 技巧,g 可表示為仿射 (affine) 變換 (詳見“複數的矩陣表示”):

\displaystyle  g(x,y)=\left[\!\!\begin{array}{cr}  r\cos\theta&-r\sin\theta\\  r\sin\theta&r\cos\theta  \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix}  x\\  y  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  p\\  q  \end{bmatrix}

仿射變換 g 的 Jacobian 矩陣

\displaystyle  J=r\left[\!\!\begin{array}{cr}  \cos\theta&-\sin\theta\\  \sin\theta&\cos\theta  \end{array}\!\!\right]

是伸縮和旋轉的複合,故證得所求。最後請讀者自行證明 Möbius 變換 f(z)=\frac{az+b}{cz+d} 的逆變換為

\displaystyle  f^{-1}(z)=\left(f_1^{-1}\circ f_2^{-1}\circ f_3^{-1}\circ f_4^{-1}\right)(z)=\frac{dz-b}{-cz+a}

因此 f^{-1}(z) 也是一個 Möbius 變換。

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2 則回應給 保長、保角與共形映射

  1. Watt Lin 說道:

    我在高三那年,買一本《複變函數論》自己閱讀,只懂前面一點點,後面章節僅有快速瀏覽,根本看不懂。
    會買那本書,只是好奇,感覺有趣,自認為總有一天,能夠由書中學到東西。
    大學沒唸理工科系,學校沒開這門課,我無從選修,僅能自學。
    一年級比較閒,偶爾又看看《複變》,只有學到一些小部分。
    「保角映射」是我感到高度興趣,卻又看不懂的部分。
    今天在《線代啟示錄》網站,看到老師的文章,由線性代數談起,讓我對於「共形映射」、「保角映射」有了新的認識,很感謝老師的解說。

    • ccjou 說道:

      很難想像高三學生會對複變感興趣,複變總是不如線性代數那樣吸引我,可能是因為應用領域的緣故吧。

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