每週問題 June 30, 2014

這是揉合特徵值、特徵向量、線性方程和正交投影的問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”的部分試題。

Let

\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{rcc}  3&3&3\\  -6&6&2\\  7&1&2  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{ccr}  3&0&0\\  0&0&0\\  0&0&-2  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rcc}  3&3&3\\  -6&6&2\\  7&1&2  \end{array}\!\!\right]^{-1}

and \mathbf{b}=\left[\!\!\begin{array}{r}  15\\  -14\\  25  \end{array}\!\!\right].

(a) Find the general solution (also called the complete solution) of A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
(b) Find the distance from \mathbf{b} to the row space of A.

 
參考解答:

(a) 問題給出 A 的對角化表達式 A=SDS^{-1},其中 D=\text{diag}(3,0,-2) 是特徵值矩陣,S=\begin{bmatrix}  \mathbf{x}_1&\mathbf{x}_2&\mathbf{x}_3  \end{bmatrix} 是特徵向量構成的可逆矩陣,即知 A\mathbf{x}_1=3\mathbf{x}_1A\mathbf{x}_2=\mathbf{0}A\mathbf{x}_3=-2\mathbf{x}_3。因為 S 是可逆矩陣,也就是說 \{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_3\} 為一線性獨立集,任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 可唯一表示為 \mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+c_3\mathbf{x}_3。若 \mathbf{x}A\mathbf{x}=\mathbf{b} 的一特解,則

\displaystyle\begin{aligned}  A\mathbf{x}&=A(c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+c_3\mathbf{x}_3)\\  &=c_1A\mathbf{x}_1+c_2A\mathbf{x}_2+c_3A\mathbf{x}_3\\  &=3c_1\mathbf{x}_1-2c_3\mathbf{x}_3=\mathbf{b}.\end{aligned}

代入 \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_3\mathbf{b} 的數值,

\displaystyle  3c_1\left[\!\!\begin{array}{r}  3\\  -6\\  7  \end{array}\!\!\right]-2c_3\begin{bmatrix}  3\\  2\\  2  \end{bmatrix}=\left[\!\!\begin{array}{r}  15\\  -14\\  25  \end{array}\!\!\right]

解出 c_1=1c_3=-1。設 c_2=0,可得一特解 \mathbf{x}_p=\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_3=(0,-8,5)^T。由於 A 的零空間 (nullspace) 為 N(A)=\text{span}\{\mathbf{x}_2\},通解可表示成

\displaystyle  \mathbf{x}_g=\mathbf{x}_p+\alpha\mathbf{x}_2=\left[\!\!\begin{array}{r}  0\\  -8\\  5  \end{array}\!\!\right]+\alpha\begin{bmatrix}  3\\  6\\  1  \end{bmatrix}

(b) 因為 A 的列空間 (row space) 是零空間的正交補餘,\mathbf{b} 可唯一分解為 \mathbf{b}=\mathbf{b}_r+\mathbf{b}_n,其中 \mathbf{b}_r 屬於 A 的列空間,\mathbf{b}_n 屬於 A 的零空間,且 \mathbf{b}_r\perp\mathbf{b}_n。所求 \mathbf{b}A 的列空間的距離即為 \mathbf{b}_n 的長度。分量 \mathbf{b}_n\mathbf{b}A 的零空間 N(A)=\text{span}\{\mathbf{x}_2\} 的正交投影,如下:

\displaystyle  \mathbf{b}_n=\frac{\mathbf{x}_2^T\mathbf{b}}{\mathbf{x}_2^T\mathbf{x}_2}\mathbf{x}_2=\frac{-14}{46}\begin{bmatrix}  3\\  6\\  1  \end{bmatrix}

\Vert\mathbf{b}_n\Vert=\frac{7}{23}\sqrt{46}

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