2014 年大學指考數甲的線性代數問題

今年大學指考的數學甲試題比往年的難度大為提高,平易近人的基本觀念問題較少 (2014 年大學指考數甲試題)。補教老師說[1]:「今年數甲很多題目,以往考古題及學校模擬考都沒見過,恐怕有很多學生寫不完,程度好的學生也可能被考倒,試題反而缺乏鑑別度。」報導說:「多選題第八題最難,考『克拉碼公式』,是大學常用到的公式,但高中並不常見,計算耗時,連補教老師都花廿分鐘才解出答案。」下面抄錄這則最難的考題。

 
問題:考慮 x,y,z 的方程組 \left\{\begin{array}{l} 2^x-3^y+5^z=-1\\ 2^{x+1}+3^y-5^z=4\\ 2^{x+1}+3^{y+1}+a5^z=8 \end{array}\right.,其中 a 為實數。請選出正確的選項:

(1) 若 (x,y,z) 為此方程組的解,則 x=0

(2) 若 (x,y,z) 為此方程組的解,則 y>0

(3) 若 (x,y,z) 為此方程組的解,則 y<z

(4) 當 a\neq -3 時,恰有一組 (x,y,z) 滿足此方程組

(5) 當 a=-3 時,(x,y,z) 滿足此方程組的所有解 (x,y,z) 會在一條直線上

 
外表看似困難的問題往往並非解答必須仰賴某個特殊的公式,而是在於解題過程挑戰甚或顛覆我們的應試習慣,其中「沒仔細讀懂問題就急著套用公式」是最常見的不良習慣。五個選項的前三項關於方程組的解 (x,y,z) 的數值大小,後兩項關於解的性質。既然無需找出所有解的表達式,又何必動用克拉瑪公式 (見“克拉瑪公式的證明”)?閱讀參考解答前,建議讀者花半分鐘仔細審視給出的方程組。

 
解答

(1) 將第一式和第二式相加可消去 3^y5^z,得到 3\cdot 2^{x}=3,故 x=0,此選項正確。

(2) 將 x=0 代入第二式和第三式,方程組化簡成 \left\{\begin{array}{l} 3^y-5^z=2\\ 3^{y+1}+a5^z=6 \end{array}\right.。因為 5^z>0,推知 3^y=2+5^z>2,也就是說,y>0,此選項正確。

(3) 若 a=-3,選項 (2) 解答過程得到的方程組退化為單一方程式 3^y-5^z=2。當 z=0,解得 y=1,此選項不為真。

(4) 從選項 (2) 所得的方程組消去 3^y (第一式乘 -3 再與第二式相加),可得 (a+3)5^z=0。若 a\neq -3,則 5^z=0,故不存在解,此選項不為真。

(5) 若 a=-3,則 x=03^y-5^z=2 的所有解不在一條直線上,因為後者並非 yz 的線性方程,此選項不為真。

 
補充說明:
按照網友周伯欣在迴響提出的作法,過程如下。令 u=2^xv=3^yw=5^z。以 u, v, w 表示的 (線性) 方程組為 \left\{\begin{array}{l} u-v+w=-1\\ 2u+v-w=4\\ 2u+3v+aw=8 \end{array}\right.。利用高斯消去法化簡增廣矩陣至梯形:

\displaystyle \left[\!\!\begin{array}{crrcr} 1&-1&1&\vline&-1\\ 2&1&-1&\vline&4\\ 2&3&a&\vline&8 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{crccr} 1&-1&1&\vline&-1\\ 0&3&-3&\vline&6\\ 0&5&a-2&\vline&10 \end{array}\!\!\right]\to\left[\!\!\begin{array}{crccr} 1&-1&1&\vline&-1\\ 0&1&-1&\vline&2\\ 0&0&a+3&\vline&0 \end{array}\!\!\right]

分開兩個情況討論。若 a\neq -3,反向迭代可解出 w=0v=2u=1,但 5^z=0 不存在解,故方程組無解,選項 (4) 不為真。若 a=-3,可得 w=\alphav=2+\alphau=1,通解為 z=\log_5\alphay=\log_3(2+\alpha)x=0,其中 \alpha>0。據此,選項 (1) 正確,y=\log_3(2+\alpha)>\log_32>0,選項 (2) 正確。當 \alpha=1,可得 y=1z=0,選項 (3) 不為真。明顯地,選項 (5) 是錯誤的命題。

 
引用來源:
[1] 聯合新聞網:數甲「近十年最難」均標估降十分

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5 則回應給 2014 年大學指考數甲的線性代數問題

  1. 周伯欣 說道:

    實在不懂這題難在哪?我覺得就換個變數u=2^x,v=3^y…之類的,就變成普通課本也會出現的題目,就算用高斯消去法也應該是算的出來(畢竟變數只有a一個還算簡單),了不起就再取個對數算回去原來的x,y,z。

  2. 林宇謙 說道:

    高中題目改一下大家就被嚇到了XD

  3. 周伯欣 說道:

    周老師有興趣談談今年大學學測的一次方程組題目嗎?
    在此野人獻曝一下,分享我自己的做法
    https://goo.gl/photos/WVfF3Kg5LzWNcHUSA

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