每週問題 July 7, 2014

這是關於冪矩陣的計算問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學A)”的部分試題。

Let

\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-1\\  1&0  \end{array}\!\!\right].

Find the minimum positive integer n such that A^n=I.

 
參考解答:

\lambda_1\lambda_2 為矩陣 A 的特徵值。若 A 可對角化為 A=SDS^{-1},其中 D=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2),則 A^n=SD^nS^{-1}=I 等價於 D^n=S^{-1}IS=I,由此較容易推斷出 n。計算過程如下:寫出 A 的特徵多項式

\displaystyle  p(\lambda)=\begin{vmatrix}  1-\lambda&-1\\  1&-\lambda  \end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda+1

解出二根,可得 \lambda_1=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=e^{i\pi/3}\lambda_2=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=e^{-i\pi/3},其中 i=\sqrt{-1}。滿足 D^n=I,即 \lambda_1^n=\lambda_2^n=1,的最小正整數為 n=6

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