每週問題 July 14, 2014

Posted on 07/14/2014 by ccjou

這是關於二次型的性質與判別問題，取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。

Let A be an n\times n real matrix. Which of the following statements are true?

(a) If all the eigenvalues of A are positive, then \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n.
(b) If all the eigenvalues of A are positive, then \det(A+A^T)>0.
(c) If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, then \det A>0.
(d) If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}<0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, then \det A<0.
(e) If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, then \det (A+A^T)>0.

 
參考解答：

(a) 錯。例如，\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-3\\ 0&1 \end{array}\!\!\right] 有特徵值 1, 1。若 \mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}，則 \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=-1。

(b) 錯。例如，\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&-3\\ 0&1 \end{array}\!\!\right] 有特徵值 1,1，但 \det(A+A^T)=\left|\!\!\begin{array}{rr} 2&-3\\ -3&2 \end{array}\!\!\right|=-5。

(c) 對。實矩陣 A 的特徵值必為實數或共軛複數。若 A 有特徵值 a\pm bi，其中 a,b 是實數，i=\sqrt{-1}，則 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\ge 0。假設 \det A\le 0。因為行列式是特徵值的積，可知 A 至少有一特徵值 \lambda\le 0，對應實特徵向量 \mathbf{x}。所以，\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(\lambda\mathbf{x})=\lambda\Vert\mathbf{x}\Vert^2\le 0。這與命題矛盾，故證明 \det A>0。

(d) 錯。例如，A=\left[\!\!\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1 \end{array}\!\!\right]。對於每一 \mathbf{x}\neq\mathbf{0}，\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=-\Vert\mathbf{x}\Vert^2<0，但 \det A=1。

(e) 對。寫出 A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}，其中 A+A^T 是對稱矩陣，A-A^T 是反對稱 (anti-symmetric) 矩陣。因為任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n 皆使 \mathbf{x}^T(A-A^T)\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(A\mathbf{x})-(A\mathbf{x})^T\mathbf{x}=0，已知條件可表示為

\displaystyle \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)\mathbf{x}+\mathbf{x}^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)\mathbf{x}=\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\left(A+A^T\right)\mathbf{x}>0，

故知 A+A^T 是一實對稱正定矩陣，其特徵值必為正數，證明 \det (A+A^T)>0。

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