每週問題 July 14, 2014

這是關於二次型的性質與判別問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。

Let A be an n\times n real matrix. Which of the following statements are true?

(a) If all the eigenvalues of A are positive, then \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n.
(b) If all the eigenvalues of A are positive, then \det(A+A^T)>0.
(c) If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, then \det A>0.
(d) If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}<0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, then \det A<0.
(e) If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 for every nonzero \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n, then \det (A+A^T)>0.

 
參考解答:

(a) 錯。例如,\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-3\\  0&1  \end{array}\!\!\right] 有特徵值 1, 1。若 \mathbf{x}=\begin{bmatrix}  1\\  1  \end{bmatrix},則 \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=-1

(b) 錯。例如,\displaystyle  A=\left[\!\!\begin{array}{cr}  1&-3\\  0&1  \end{array}\!\!\right] 有特徵值 1,1,但 \det(A+A^T)=\left|\!\!\begin{array}{rr}  2&-3\\  -3&2  \end{array}\!\!\right|=-5

(c) 對。實矩陣 A 的特徵值必為實數或共軛複數。若 A 有特徵值 a\pm bi,其中 a,b 是實數,i=\sqrt{-1},則 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\ge 0。假設 \det A\le 0。因為行列式是特徵值的積,可知 A 至少有一特徵值 \lambda\le 0,對應實特徵向量 \mathbf{x}。所以,\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(\lambda\mathbf{x})=\lambda\Vert\mathbf{x}\Vert^2\le 0。這與命題矛盾,故證明 \det A>0

(d) 錯。例如,A=\left[\!\!\begin{array}{rr}  -1&0\\  0&-1  \end{array}\!\!\right]。對於每一 \mathbf{x}\neq\mathbf{0}\mathbf{x}^TA\mathbf{x}=-\Vert\mathbf{x}\Vert^2<0,但 \det A=1

(e) 對。寫出 A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2},其中 A+A^T 是對稱矩陣,A-A^T 是反對稱 (anti-symmetric) 矩陣。因為任一 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n 皆使 \mathbf{x}^T(A-A^T)\mathbf{x}=\mathbf{x}^T(A\mathbf{x})-(A\mathbf{x})^T\mathbf{x}=0,已知條件可表示為

\displaystyle  \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=\mathbf{x}^T\left(\frac{A+A^T}{2}\right)\mathbf{x}+\mathbf{x}^T\left(\frac{A-A^T}{2}\right)\mathbf{x}=\frac{1}{2}\mathbf{x}^T\left(A+A^T\right)\mathbf{x}>0

故知 A+A^T 是一實對稱正定矩陣,其特徵值必為正數,證明 \det (A+A^T)>0

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