每週問題 July 21, 2014

這是內積空間於傅立葉級數的應用問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學A)”。

Let f(t) be defined as follows:

\displaystyle  f(t)=\left\{\begin{array}{rl}  1,&\text{if~}0\le t<\pi\\  -1,&\text{if~}-\pi<t<0.  \end{array}\right.

Also, define

\displaystyle  g(t)=a\cos t+b\cos 2t+c\sin t.

Find the coeffiicents (a,b,c) such that E=\int_{-\pi}^{\pi}\vert g(t)-f(t)\vert^2 dt is minimized.

 
參考解答:

定義實函數 h_1(t)h_2(t) 的內積如下:

\displaystyle  \left\langle h_1,h_2\right\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h_1(t)h_2(t)dt

且實函數 h(t) 的範數為 \Vert h\Vert=\left\langle h,h\right\rangle^{1/2}。根據正交原則,最小化 E=\pi\Vert g-f\Vert^2g(t)=a\cos t+b\cos 2t+c\sin t,稱作函數 f(t) 的最小平方近似,即為 f(t) 至子空間 \text{span}\{\cos t,\cos 2t, \sin t\} 的正交投影。因為 \{\cos t,\cos 2t, \sin t\} 構成一個單範正交集 (orthonormal set),也就是說,\left\langle \cos t,\cos 2t\right\rangle=\left\langle \cos t,\sin t\right\rangle=\left\langle \sin t,\cos 2t\right\rangle=0\Vert \cos t\Vert=\Vert \cos 2t\Vert=\Vert \sin t\Vert=1,最小平方近似 g(t) 的組合係數為

\displaystyle\begin{aligned}  a&=\left\langle f(t),\cos t\right\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos t dt=0\\  b&=\left\langle f(t),\cos 2t\right\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos 2t dt=0\\  c&=\left\langle f(t),\sin t\right\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin t dt=\frac{4}{\pi}.  \end{aligned}

Advertisements
本篇發表於 pow 內積空間, 每週問題 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

3 則回應給 每週問題 July 21, 2014

  1. Watt Lin 說道:

    假設考填充題,不必列出詳細計算過程,
    這似乎可以直覺看出,f(t)是奇函數。
    cos 是偶函數,係數為 0。
    sin 是奇函數,因此 g(t) 要近似 f(t),僅有 sin 項的係數不為 0。
    然後針對 sin 去計算,可以節省計算 cos 的時間。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s