每週問題 July 28, 2014

這是從特徵值推論矩陣性質的問題,修改自“台聯大2013年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學C)”。

Consider a 4\times 4 real matrix A with three different eigenvalues 0,1,2. Which of the following statements are true?

(a) The determinant of A is 0.
(b) There are three linearly independent eigenvectors.
(c) The rank of A is 2.
(d) The trace of A is 3.
(e) The column space of A is spanned by the eigenvectors corresponding to eigenvalues 1 and 2.

 
參考解答:

(a) 對。矩陣 A 的行列式的等於特徵值積,故可推斷 \det A=0\cdot 1\cdot 2\cdot\lambda=0,其中 \lambda\in\{0,1,2\}
(b) 錯。矩陣 A 有三個相異特徵值 0,1,2,對應的特徵向量構成線性獨立集。若 A 可對角化,則 A 有四個線性獨立的特徵向量;若 A 不可對角化,則 A 僅有三個線性獨立的特徵向量。
(c) 錯。使用秩─零度定理 \text{rank}A=4-\dim N(A),其中 \dim N(A) 表示 A 的零空間維數,即特徵值 0 的幾何重數 (geometric multiplicity)。若 \dim N(A)=1,則 \text{rank}A=3;若 \dim N(A)=2,則 \text{rank}A=2
(d) 錯。若特徵值 0 的相重數為 2,則 \text{trace}A=0+0+1+2=3;若特徵值 1 的相重數為 2,則 \text{trace}A=0+1+1+2=4;若特徵值 2 的相重數為 2,則 \text{trace}A=0+1+2+2=5
(e) 錯。例如,A=\begin{bmatrix}  0&0&0&0\\  0&1&0&0\\  0&0&2&1\\  0&0&0&2  \end{bmatrix} 的行空間 (column space) 為 C(A)=\text{span}\{(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T\},但 (0,0,0,1)^T 並非對應特徵值 12 的特徵向量。

This entry was posted in pow 特徵分析, 每週問題 and tagged , , , . Bookmark the permalink.

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

你正使用 WordPress.com 帳號留言。 登出 / 變更 )

Twitter picture

你正使用 Twitter 帳號留言。 登出 / 變更 )

Facebook照片

你正使用 Facebook 帳號留言。 登出 / 變更 )

Google+ photo

你正使用 Google+ 帳號留言。 登出 / 變更 )

連結到 %s