## 每週問題 July 28, 2014

Consider a $4\times 4$ real matrix $A$ with three different eigenvalues $0,1,2$. Which of the following statements are true?

(a) The determinant of $A$ is $0$.
(b) There are three linearly independent eigenvectors.
(c) The rank of $A$ is $2$.
(d) The trace of $A$ is $3$.
(e) The column space of $A$ is spanned by the eigenvectors corresponding to eigenvalues $1$ and $2$.

(a) 對。矩陣 $A$ 的行列式的等於特徵值積，故可推斷 $\det A=0\cdot 1\cdot 2\cdot\lambda=0$，其中 $\lambda\in\{0,1,2\}$
(b) 錯。矩陣 $A$ 有三個相異特徵值 $0,1,2$，對應的特徵向量構成線性獨立集。若 $A$ 可對角化，則 $A$ 有四個線性獨立的特徵向量；若 $A$ 不可對角化，則 $A$ 僅有三個線性獨立的特徵向量。
(c) 錯。使用秩─零度定理 $\text{rank}A=4-\dim N(A)$，其中 $\dim N(A)$ 表示 $A$ 的零空間維數，即特徵值 $0$ 的幾何重數 (geometric multiplicity)。若 $\dim N(A)=1$，則 $\text{rank}A=3$；若 $\dim N(A)=2$，則 $\text{rank}A=2$
(d) 錯。若特徵值 $0$ 的相重數為 $2$，則 $\text{trace}A=0+0+1+2=3$；若特徵值 $1$ 的相重數為 $2$，則 $\text{trace}A=0+1+1+2=4$；若特徵值 $2$ 的相重數為 $2$，則 $\text{trace}A=0+1+2+2=5$
(e) 錯。例如，$A=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&0&2 \end{bmatrix}$ 的行空間 (column space) 為 $C(A)=\text{span}\{(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T\}$，但 $(0,0,0,1)^T$ 並非對應特徵值 $1$$2$ 的特徵向量。