每週問題 August 4, 2014

這是矩陣秩的計算問題,取自“台聯大2014年碩士班招生考試試題 (電機類工程數學D)”。

Let

\displaystyle  A=\frac{1}{2}\left[\!\!\begin{array}{crrr}  1&1&\sqrt{2}&0\\  1&1&-\sqrt{2}&0\\  1&-1&0&\sqrt{2}\\  1&-1&0&-\sqrt{2}  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{ccr}  1&1&0\\  0&2&0\\  0&0&-2\\  0&0&0  \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rrc}  \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[0.5em]  -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[0.5em]  0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\!\!\right].

Find \text{rank}\begin{bmatrix}  AA^T&A\\  A^T&A^TA  \end{bmatrix}.

 
參考解答:

寫出

\displaystyle  \begin{bmatrix}  AA^T&A\\  A^T&A^TA  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A&0\\  0&A^T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A^T&I_3\\  I_4&A  \end{bmatrix}

其中 \begin{bmatrix}  A^T&I_3\\  I_4&A  \end{bmatrix} 是一 7\times 7 階可逆矩陣 (證明於下),故

\displaystyle  \text{rank}\begin{bmatrix}  AA^T&A\\  A^T&A^TA  \end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}  A&0\\  0&A^T  \end{bmatrix}=\text{rank}A+\text{rank}A^T=2\text{rank}A

觀察發現 A=QBP,其中

\displaystyle  B=\left[\!\!\begin{array}{ccr}  1&1&0\\  0&2&0\\  0&0&-2\\  0&0&0  \end{array}\!\!\right]

\displaystyle  Q=\frac{1}{2}\left[\!\!\begin{array}{crrr}  1&1&\sqrt{2}&0\\  1&1&-\sqrt{2}&0\\  1&-1&0&\sqrt{2}\\  1&-1&0&-\sqrt{2}  \end{array}\!\!\right],~~P=\left[\!\!\begin{array}{rrc}  \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[0.5em]  -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\[0.5em]  0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\!\!\right]

是正交矩陣 (orthogonal matrix),滿足 Q^{-1}=Q^TP^{-1}=P^T。所以,

\displaystyle  \text{rank}A=\text{rank}B=\text{rank}\left[\!\!\begin{array}{ccr}  1&1&0\\  0&2&0\\  0&0&-2\\  0&0&0  \end{array}\!\!\right]=3

即得 \text{rank}\begin{bmatrix}  AA^T&A\\  A^T&A^TA  \end{bmatrix}=6

 
下面證明 \text{rank}\begin{bmatrix}  A^T&I_3\\  I_4&A  \end{bmatrix}=7。使用基本列運算 (elementary row operation) 化簡至分塊梯形矩陣,如下:

\displaystyle  \begin{bmatrix}  A^T&I_3\\  I_4&A  \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}  I_4&A\\  A^T&I_3  \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}  I_4&A\\  0&I_3-A^TA  \end{bmatrix}

基本列運算不改變矩陣秩,故

\displaystyle \begin{aligned}  \text{rank}\begin{bmatrix}  A^T&I_3\\  I_4&A  \end{bmatrix}&=\text{rank}\begin{bmatrix}  I_4&A\\  0&I_3-A^TA  \end{bmatrix}\\  &=\text{rank}I_4+\text{rank}(I_3-A^TA)\\  &=4+\text{rank}(I_3-A^TA),\end{aligned}

其中 A^TA=P^TB^TQ^TQBP=P^TB^TBP,也就是說,A^TA 相似於 B^TB,兩者有相同的特徵值。算出

\displaystyle  B^TB=\begin{bmatrix}  1&1&0\\  1&5&0\\  0&0&4  \end{bmatrix}

的特徵值為 4, 3\pm\sqrt{5}。因此,I_3-A^TA 的特徵值 (即 I_3-B^TB 的特徵值) 為 -3, -2\pm\sqrt{5},即得 \text{rank}(I_3-A^TA)=3,故證明所求。

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