## 每週問題 August 18, 2014

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ real matrices. Show that if $B=P^{-1}AP$, where $P$ is a complex matrix, then there exists a real matrix $T$ such that $B=T^{-1}AT$. That is, if two real square matrices are similar over $\mathbb{C}$, then they must be similar over $\mathbb{R}$.

$P=C+iD$，其中 $C$$D$ 是實矩陣，$i=\sqrt{-1}$。因為 $A$$B$ 是實矩陣，$AP=PB$，即 $AC+iAD=CB+iDB$，意味 $AC=CB$$AD=DB$。寫出 $D=D'-I$，並令 $T=C+tD=(C+tD')-tI$，其中 $t$ 是實數。若 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$$C+tD'$ 的特徵值，則 $T$ 的特徵值為 $\lambda_j-t$$j=1,\ldots,n$。我們一定可以找到 $t\in\mathbb{R}$ 使得 $t\neq \lambda_j$$j=1,\ldots,n$，故證明存在一實可逆矩陣 $T$ 滿足 $AT=TB$

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### 1 則回應給 每週問題 August 18, 2014

1. Meiyue Shao 說：

比较一般的结论是：矩阵相似与否与域的选取无关。这里的技术只适用于实数域和复数域，不过可以用于证明另一个结论：两个实矩阵若酉相似则实正交相似（Specht定理）。