每週問題 August 25, 2014

這是關於矩陣積 ABBA 的特徵值與特徵向量問題,及對角化問題。

Let A and B be n\times n matrices. Which of the following statements are true?

(a) If A and B are real symmetric matrices, then AB and BA must have the same eigenvalues.
(b) If B is invertible, then AB and BA must have the same eigenvalues.
(c) If B is invertible, then AB and BA must have the same eigenvectors.
(d) If A and B are diagonalizable and have the same eigenvalues, then they must be the same matrix.
(e) If A and B are diagonalizable and have the same eigenvalue-eigenvector pairs, then they must be the same matrix.

 
參考解答:

(a) 對。因為 AB 是實對稱矩陣,(AB)^T=B^TA^T=BA。但 AB(AB)^T 有相同的特徵值,故 ABBA 有相同的特徵值。不僅如此,因為 AB 相似於 (AB)^T,推得 AB 相似於 BA

(b) 對。因為 B 可逆,AB=B^{-1}(BA)B,推知 AB 相似於 BA,故兩者有相同的特徵值。

(c) 錯。例如,A=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  1&1\\  1&0  \end{bmatrix},則 AB=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix} 對應特徵值 10 的特徵向量分別為 (1,0)^T(0,1)^T,但 BA=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&1  \end{bmatrix} 對應特徵值 10 的特徵向量分別為 (1,1)^T(1,0)^T

(d) 錯。例如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&2  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  1&1\\  0&2  \end{bmatrix} 有相同的特徵值 12,並皆可對角化 (因為特徵值相異),但 A\neq B

(e) 對。令 D 是特徵值構成的對角矩陣,S 是特徵向量構成的可逆矩陣。因為 AB 皆可對角化為 A=SDS^{-1}B=SDS^{-1},故證明 A=B

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5 Responses to 每週問題 August 25, 2014

  1. Meiyue Shao 說道:

    从理解问题的角度讲,最好给 (a) (b) 加个注释:只要 AB 是同阶方阵,那么 ABBA 总有相同的特征值,但未必相似,(a) (b) 都是相似的充分条件(相似的一个充要条件是 \mathrm{rank}(AB)^k=\mathrm{rank}(BA)^k 对所有正整数 k 成立)。

  2. Meiyue Shao 說道:

    (e) 有点问题,主要是语言的歧义造成的:两个仅有对角元次序不同的对角阵也可以理解成特征值和特征向量都一样。

    • ccjou 說道:

      是的,應該聲明A和B是非對角陣。

      • ccjou 說道:

        更正,兩個僅有對角元次序不同的對角陣不可能有相同的特徵值-特徵向量對,我將the same eigenvalues and eigenvectors 改成 the same eigenvalue-eigenvector pairs,這樣比較清楚。

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