每週問題 September 1, 2014

本週問題是計算正交投影矩陣。

Let

\displaystyle  A=\begin{bmatrix}  1&0\\  2&1\\  0&2\\  1&3  \end{bmatrix}.

Suppose P_1 is the orthogonal projection matrix onto the subspace spanned by the first column of A, and P_2 is the orthogonal projection matrix onto the column space of A. Determine the product P_2P_1.

 
參考解答:

對於 \mathbf{x}\in\mathbb{R}^4P_2P_1\mathbf{x} 的作用是先將 \mathbf{x} 正交投影至 P_1 的行空間 (column space),緊接著再將 P_1\mathbf{x} 正交投影至 P_2 的行空間。因為 P_2 的行空間,即 A 的行空間 C(A),包含 P_1 的行空間 \text{span}\{\mathbf{a}_1\},其中 \mathbf{a}_1=(1,2,0,1)^T,故知第二次投影 P_2(P_1\mathbf{x}) 不改變第一次投影 P_1\mathbf{x},這意味 P_2P_1=P_1。使用正交投影公式,可得

\displaystyle\begin{aligned}  P_2P_1&=P_1=\mathbf{a}_1(\mathbf{a}_1^T\mathbf{a}_1)^{-1}\mathbf{a}_1^T\\  &=  \begin{bmatrix}  1\\  2\\  0\\  1  \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix}  1&2&0&1  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1\\  2\\  0\\  1  \end{bmatrix}  \right)^{-1}\begin{bmatrix}  1&2&0&1  \end{bmatrix}\\  &=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}  1&2&0&1\\  2&4&0&2\\  0&0&0&0\\  1&2&0&1  \end{bmatrix}.\end{aligned}

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