每週問題 September 8, 2014

這是求簡約列梯形式 (reduced row echelon form) 的問題。

Let \displaystyle A=\begin{bmatrix} I_r&B\\ 0&0 \end{bmatrix} be an m\times n matrix.

(a) What is the reduced row echelon form of A^T? Write down in block matrix form.
(b) What is the reduced row echelon form of A^TA?
(c) Can you tell the reduced row echelon form of AA^T?

 
參考解答:

(a) 運用基本列運算 (elementary row operation),A^T 的第一分塊列乘 -B^T 加進第二分塊列,可得

\displaystyle A^T=\begin{bmatrix} I_r&0\\ B^T&0 \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

因此,A^T 的簡約列梯形式為 \begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

(b) 寫出

\displaystyle A^TA=\begin{bmatrix} I_r&0\\ B^T&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_r&B\\ 0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_r&B\\ B^T&B^TB \end{bmatrix}

A^TA 的第一分塊列乘 -B^T 加進第二分塊列,可得

\displaystyle \begin{bmatrix} I_r&B\\ B^T&B^TB \end{bmatrix}\to\begin{bmatrix} I_r&B\\ 0&0 \end{bmatrix}

因此,A^TA 的簡約列梯形式為 \begin{bmatrix} I_r&B\\ 0&0 \end{bmatrix}

(c) 寫出

\displaystyle AA^T=\begin{bmatrix} I_r&B\\ 0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_r&0\\ B^T&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_r+BB^T&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

由於 B 未給定,我們無法判斷 I_r+BB^T 的簡約列梯形式,故無從得知 AA^T 的簡約列梯形式。然而,如果 A 是實矩陣 (即 B 是實矩陣),則 BB^Tr\times r 階實對稱半正定矩陣。寫出正交對角化形式 BB^T=QDQ^T,其中 Q^T=Q^{-1}D=\text{diag}(d_1,\ldots,d_r),每一 d_i\ge 0 (實對稱半正定矩陣的特徵值皆不小於零)。因此,I_r+BB^T=Q(I_r+D)Q^T,說明 \text{rank}(I_r+BB^T)=\text{rank}(I_r+D)=r。任一可逆矩陣列等價 (row equivalent) 於同階單位矩陣,故 AA^T 的簡約列梯形式為 \begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}

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6 則回應給 每週問題 September 8, 2014

  1. Meiyue Shao 說道:

    这题目加上实矩阵的条件可能会更好一些,这样(c)的结论会有所不同,而且可以多考察一个知识点。

  2. 小李 說道:

    為什麼算式中是B^TB,不是BB^T也行嗎?還是有什麼特別算法在高斯消去法當中嗎?矩陣相乘

  3. ccjou 說道:

    請把問題寫清楚。

  4. 小李 說道:

    就是高斯消去法的矩陣運算,可以先自相乘再乘轉置矩陣嗎?還是前提一定要方陣才行,那麼方陣應該怎麼運算都沒關係吧?

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