每週問題 September 15, 2014

A 有單範正交的行向量 (orthonormal columns),求 Gramian 矩陣 A^TAAA^T 的行列式。取自2006年台大電機研究所碩士班入學考試試題。

Let A be a 5\times 3 matrix with orthonormal columns. Determine \det(AA^T) and \det(AA^T).

 
參考解答:

5\times 3 階矩陣以行向量表示為 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3  \end{bmatrix},其中 \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_35 維向量並滿足

\displaystyle   \mathbf{a}_i^T\mathbf{a}_j=\left\{\begin{array}{ll}  1,&\text{if~}i=j\\  0,&\text{if~}i\neq j.  \end{array}\right.

計算矩陣乘法,可得

\displaystyle  A^TA=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1^T\\  \mathbf{a}_2^T\\  \mathbf{a}_3^T  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1^T\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_1^T\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_1^T\mathbf{a}_3\\  \mathbf{a}_2^T\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2^T\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_2^T\mathbf{a}_3\\  \mathbf{a}_3^T\mathbf{a}_1&\mathbf{a}_3^T\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3^T\mathbf{a}_3  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1&0&0\\  0&1&0\\  0&0&1  \end{bmatrix}=I

\det(A^TA)=\det I=1。寫出

\displaystyle  AA^T=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\mathbf{a}_2&\mathbf{a}_3  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1^T\\  \mathbf{a}_2^T\\  \mathbf{a}_3^T  \end{bmatrix}=\sum_{i=1}^3\mathbf{a}_i\mathbf{a}_i^T

可知 AA^T 的行空間 (column space) 為 \text{span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\},推論 \text{rank}(AA^T)=3<5,表明 AA^T5\times 5 階不可逆矩陣,故 \det(AA^T)=0

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