每週問題 September 29, 2014

這是證明矩陣乘積的行空間 (column space) 包容性質。

Denote by C(X) the column space or range of matrix X. Let A be an m\times p matrix and B be an m\times q matrix. Prove that the following statements are equivalent.

(a) C(A)\subseteq C(B).
(b) A=BD for some q\times p matrix D.

 
參考解答:

(a)\Rightarrow(b):將矩陣 AB 分別以行向量表示為 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_p  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_q  \end{bmatrix},其中 \mathbf{a}_j\mathbf{b}_j 皆為 m 維向量。因為 \text{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_p\}=C(A)\subseteq C(B),矩陣 A 的所有行 \mathbf{a}_jj=1,\ldots,p,屬於子空間 C(B)=\text{span}\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_q\},也就是說,存在 d_{lk}l=1,\ldots,qk=1,\ldots,p,使得

\displaystyle   \mathbf{a}_j=d_{1j}\mathbf{b}_1+\cdots+d_{qj}\mathbf{b}_q,~~j=1,\ldots,p

因此,

\displaystyle   A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_p  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_q  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  d_{11}&\cdots&d_{1p}\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  d_{q1}&\cdots&d_{qp}  \end{bmatrix}=BD

其中 D=[d_{lk}] 是一 q\times p 階矩陣。

(b)\Rightarrow(a):

A=BD 可表示為

\displaystyle   \mathbf{a}_j=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_q  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  d_{1j}\\  \vdots\\  d_{qj}  \end{bmatrix}=d_{1j}\mathbf{b}_1+\cdots+d_{qj}\mathbf{b}_q,~j=1,\ldots,p

換句話說,每一 \mathbf{a}_j 屬於 C(B),推得 C(A)\subseteq C(B)

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