## 每週問題 September 29, 2014

Denote by $C(X)$ the column space or range of matrix $X$. Let $A$ be an $m\times p$ matrix and $B$ be an $m\times q$ matrix. Prove that the following statements are equivalent.

(a) $C(A)\subseteq C(B)$.
(b) $A=BD$ for some $q\times p$ matrix $D$.

(a)$\Rightarrow$(b)：將矩陣 $A$$B$ 分別以行向量表示為 $A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_p \end{bmatrix}$$B=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_q \end{bmatrix}$，其中 $\mathbf{a}_j$$\mathbf{b}_j$ 皆為 $m$ 維向量。因為 $\text{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_p\}=C(A)\subseteq C(B)$，矩陣 $A$ 的所有行 $\mathbf{a}_j$$j=1,\ldots,p$，屬於子空間 $C(B)=\text{span}\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_q\}$，也就是說，存在 $d_{lk}$$l=1,\ldots,q$$k=1,\ldots,p$，使得

$\displaystyle \mathbf{a}_j=d_{1j}\mathbf{b}_1+\cdots+d_{qj}\mathbf{b}_q,~~j=1,\ldots,p$

$\displaystyle A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} d_{11}&\cdots&d_{1p}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ d_{q1}&\cdots&d_{qp} \end{bmatrix}=BD$

(b)$\Rightarrow$(a)：

$A=BD$ 可表示為

$\displaystyle \mathbf{a}_j=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} d_{1j}\\ \vdots\\ d_{qj} \end{bmatrix}=d_{1j}\mathbf{b}_1+\cdots+d_{qj}\mathbf{b}_q,~j=1,\ldots,p$

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