每週問題 October 6, 2014

本週問題是證明 Hermitian 正定矩陣的積必可對角化。

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ Hermitian matrices. Show that if $A$ or $B$ is positive definite, then $AB$ is diagonalizable.

參考解答：

假設 $A$ 是正定矩陣，推知 $A$ 的特徵值皆為正數，故 $A$ 是一可逆矩陣。因此， $AB$ 相似於 $\sqrt{A}^{-1}AB\sqrt{A}=\sqrt{A}B\sqrt{A}$ ，其中 $\sqrt{A}$ 是 $A$ 的平方根，也是 Hermitian。由於 $\sqrt{A}B\sqrt{A}$ 是 Hermitian 矩陣，故可么正對角化 (unitarily diagonalizable) 為 $\sqrt{A}B\sqrt{A}=UDU^\ast$ ，其中 $U$ 是一么正矩陣，滿足 $U^\ast=U^{-1}$ ， $D$ 是實對角矩陣。據此， $AB$ 亦可對角化，如下：

$\displaystyle AB=\sqrt{A}\left(\sqrt{A}B\sqrt{A}\right)\sqrt{A}^{-1}=\sqrt{A}(UDU^\ast)\sqrt{A}^{-1}=\left(\sqrt{A}U\right)D\left(\sqrt{A}U\right)^{-1}$ 。

按照相同方式亦可證明若 $B$ 是正定矩陣，則 $AB$ 可對角化。

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