每週問題 October 13, 2014

證明若二正交投影矩陣的值域相同,則二矩陣相等。

Let A and B be n\times n real orthogonal projection matrices, i.e., A^T=A=A^2, B^T=B=B^2. Show that C(A)=C(B) implies A=B. Note that C(X) denotes the column space or range of matrix X.

 
參考解答:

假設 C(A)=C(B)。對於任一 n 維向量 \mathbf{x},令 A\mathbf{y}=B\mathbf{x}。因為 A 是冪等矩陣 (idempotent matrix),A(B\mathbf{x})=A^2\mathbf{y}=A\mathbf{y}=B\mathbf{x}。同樣道理,任一 \mathbf{x} 滿足 B(A\mathbf{x})=A\mathbf{x}。因此,

\displaystyle  (A-B)^2\mathbf{x}=A^2\mathbf{x}+B^2\mathbf{x}-AB\mathbf{x}-BA\mathbf{x}=A\mathbf{x}+B\mathbf{x}-A(B\mathbf{x})-B(A\mathbf{x})=\mathbf{0}

推論 (A-B)^2=0,故 A-B 的特徵值皆為零。因為 AB 是實對稱矩陣,A-B 也是實對稱矩陣,可知 A-B 的特徵向量可生成完整的 \mathbb{R}^n,說明 A-B 的零空間 (nullspace) 為 \mathbb{R}^n,故 A-B=0

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