每週問題 October 20, 2014

證明對合矩陣 (involutory matrix) 的一個跡數不等式。

Let A be an n\times n involutory matrix, A^2=I, and A\neq\pm I. Show that |\hbox{trace}A|\le n-2.

 
參考解答:

\lambdaA 的一個特徵值,對應特徵向量 \mathbf{x}。我們得到 \mathbf{x}=I\mathbf{x}=A^2\mathbf{x}=\lambda^2\mathbf{x},故 \lambda=\pm 1。假設特徵值 -1 的代數重數為 k,則 |\hbox{trace}A|=|(n-k)-k|=|n-2k|。因為 A\neq\pm IA 的特徵值不可能全部為 1-1,也就是說 1\le k\le n-1。因此,|\hbox{trace}A|=|n-2k|\le n-2

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